Bonjour Mathématicienne, Noemi, C'est très bien Mathématicienne d'avoir trouvé seule. Cet exercice est intéressant. J'explicite quelques bribes de la solution, pour le cas où il y aurait des lecteurs qui consulteraient la discussion et qui ne l'auraient pas trouvée, Quelques pistes, 1) 2n=n+n2n=n+n2n=n+n U2n=(1+...+1n)+(1n+1+...+1n+n)U_{2n}=\biggl(1+...+\frac{1}{n}\biggl)+\biggl(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+n}\biggl)U2n​=(1+...+n1​)+(n+11​+...+n+n1​) U2n=Un+(1n+1+...+12n)U_{2n}=U_n+\biggl(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\biggl)U2n​=Un​+(n+11​+...+2n1​) Or, 1n+1≥12n\frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{2n}n+11​≥2n1​ 1n+1≥12n\frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{2n}n+11​≥2n1​ ... 1n+n≥12n\frac{1}{n+n} \ge \frac{1}{2n}n+n1​≥2n1​ Donc (1n+1+...+12n)≥n(12n)(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}) \ge n(\frac{1}{2n)}(n+11​+...+2n1​)≥n(2n)1​ (1n+1+...+12n)≥12(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}) \ge \frac{1}{2}(n+11​+...+2n1​)≥21​ Conclusion U2n≥Un+12\fbox{U_{2n}\ge U_n+\frac{1}{2}}U2n​≥Un​+21​​ 2) Un+1−Un=1n+1U_{n+1}-U_n=\frac{1}{n+1}Un+1​−Un​=n+11​ d'ou conclusion immédiate. 3)Raisonnement par l'absurde. Supposons que (Un)U_n)Un​) converge vers une limite finie l (forcément positive car suite à termes strictement positifs) limn→+∞Un=l\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=ln→+∞lim​Un​=l limn→+∞U2n=l\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_{2n}=ln→+∞lim​U2n​=l En utilisant la propriété démontrée au 1), par passage à la limite : l≥l+12l\ge l+\frac{1}{2}l≥l+21​ Cela équivaut à : l−l≥12l-l\ge \frac{1}{2}l−l≥21​ <= > 0≥120 \ge \frac{1}{2}0≥21​ Impossible. Conclusion : (Un)(U_n)(Un​) est une suite à termes strictement positifs, strictement croissante, non convergente, donc elle diverge vers +∞+\infty+∞ limn→+∞Un=+∞\fbox{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=+\infty}n→+∞lim​Un​=+∞​