Résoudre un problème à l'aide des formules sur les suites

Bonjour à tous et à toutes
J'aimerais avoir de l'aide deja pour savoir si mes réponses sont justes et surtout pour la rédaction s'il vous plait, je vous en remercie par avance

Enoncé :
"On supose qu'à partir de l'année 0 la population d'un pays reste constate et vaut 60 millions d'habitants. La population se compose de ruraux et de citadins; chaque année, 20% des ruraux émigrent en ville et 10% des citadins émigrent en zne ruraule. On note Vn et Rn les effectifs (en million) des citadins et des ruraux au bout de n années. Pour l'année 0 on donne V0=20 et R0=40. Le but de l'exercice est de d'étudier l'évolution des populations des ruraux et des citadins dans ce pays en fonction de n.

montrer que Vn+Rn = 60
Montrer que pour tout n dans N : V(n+1) = 0,9Vn + 0,2Rn
R(n+1) = 0,1Vn + 0,8Rn
En déduire quen pour tout n dans N: V(n+1)= 0,7Vn + 12 et R(n+1)= 0,7Rn + 6
Calculer Vn et Rn en fonction de n. quelles sont les limites des suites Vn et Rn?"

mes réponses :

Sn+1=0.9Vn + 0.2Rn + 0.1Vn + 0.8Rn=Vn+Rn=Sn
donc Sn+1=Sn d'ou Sn est constante égal à S0=40+20=60
Vn+1=0.9Vn + 0.2Rn =0.9Vn + 0.2(Sn-Vn) ?
En développrant on a Vn+1=0.9Vn+0.2 Sn - 0.2Vn=0.7Vn+0.2 Sn
Vn+1=0.9Vn + 0.2Rn =0.9Vn + 0.2(Sn-Vn)=0.7Vn+0.2 S0 (car Sn=S0)
donc Vn+1=0.7Vn+12
De meme avec Rn+1=0.7Rn + 6
0.7 <1 donc (0.7)^n -> 0 quand n->+oo
donc Lim Rn en + 00 = 20 et lim Vn en + 00 = 40

je vous en remercie par avance au revoir

Bonjour,
1)La première question est évidente et ne nécessite aucun calcul.
Concernant la rédaction :
il faudrait définir Sn .
De plus, les calculs (inutiles) font intervenir les résultats demandés seulement à la question 2

Inutile de faire intervenir Sn : il vaut mieux établir séparément les formules pour Vn et Rn ( en les expliquant ... ) , et vérifier simplement que la somme rest constante.
Ras
Les calculs ( en fonction de n ) n'ont pas été effectués ?

mathtous
Bonjour,
1)La première question est évidente et ne nécessite aucun calcul.
Concernant la rédaction :
il faudrait définir Sn .
De plus, les calculs (inutiles) font intervenir les résultats demandés seulement à la question 2

Inutile de faire intervenir Sn : il vaut mieux établir séparément les formules pour Vn et Rn ( en les expliquant ... ) , et vérifier simplement que la somme rest constante.
Ras
Les calculs ( en fonction de n ) n'ont pas été effectués ?Je ne vois pas ce que vous vouelz dire....

Citation
4) Calculer Vn et Rn en fonction de n.Pour la question 4 ?
Citation
Je ne vois pas ce que vous vouelz dire....Ou pour les autres ?

mathtous
Citation
4) Calculer Vn et Rn en fonction de n.Pour la question 4 ?
Citation
Je ne vois pas ce que vous vouelz dire....Ou pour les autres ?

Question 4
et la question 2

Des phrases , ce serait possible ?
Merci.

mathtous
Des phrases , ce serait possible ?
Merci.

Excusez moi cher monsieur,
je voulais dire pour la question 4 et aussi pour la 2 je ne comprends pas ce que vous mettez surtout pour la question 2)
je suis désolé
en tout cas merci de votre aide

Pour la question 2 , l'énoncé fournit les réponses.
Partir de l'une d'elles pour démontrer l'autre s'appelle un "cercle vicieux" .
Pour la question 4 , il faut une formule donnant Vn en fonction de n ; par exemple Vn = 2n + 3 ( évidemment ce n'est pas cela ) .
Et non pas la relation de récurrence entre Vn+1 et Vn .

mathtous
Pour la question 2 , l'énoncé fournit les réponses.
Partir de l'une d'elles pour démontrer l'autre s'appelle un "cercle vicieux" .
Pour la question 4 , il faut une formule donnant Vn en fonction de n ; par exemple Vn = 2n + 3 ( évidemment ce n'est pas cela ) .
Et non pas la relation de récurrence entre Vn+1 et Vn .

Ce que je ne vois pas c'ets pourquoi V(n+1) = 0,9Vn + 0,2Rn pourquoi on a enlevé 0,1 à Vn.. Parce que c'est V(n+1) qui est égal a ca?

Il me semblait bien que tu n'avais pas trouvé le pourquoi des formules.
Soit Vn la population citadine l'année n , et Rn la population rurale.
L'année suivante :
20% de la population citadine quitte la ville , donc il en reste 90% , soit 0,9Vn
Mais 20% de la population rurale rapplique en ville , soit 0,2Rn en plus.
Donc , V(n+1) = 0,9 Vn + 0,2 Rn .
Raisonnement analogue pour R(n+1)

Ceci, c'est pour la question 2.
Pour la question 1 , on dit simplement que la population totale ne change pas : 60M

et la question 4 pourquoi elle n'ets pas bonne?

Tu n'as pas répondu à la question : Calculer Vn et Rn en fonction de n.
Tu dois établir une formule du genre Vn = f(n)
Par exemple Vn = $4^n$ + 45 ( mais c'est évidemment une autre ).

Même chose pour Rn

mathtous
Tu n'as pas répondu à la question : Calculer Vn et Rn en fonction de n.
Tu dois établir une formule du genre Vn = f(n)
Par exemple Vn = $4^n$ + 45 ( mais c'est évidemment une autre ).

Même chose pour Rn

Vn = 0,9V(n-1)+0,2V(n-1)???

Non : cela est une relation entre $V_n$ et $V_{n-1 }$ : tu te laisses duper par les parenthèses.
La réponse ne doit pas faire intervenir $V_{n-1}$ ( ni $V_{n+1}$ , ni $R_n$ , ... ) , mais seulement n.
La relation cherchée est de la forme $V_n$ = A. $k^n$ + B

mathtous
Non : cela est une relation entre $V_n$ et $V_{n-1 }$ : tu te laisses duper par les parenthèses.
La réponse ne doit pas faire intervenir $V_{n-1}$ ( ni $V_{n+1}$ , ni $R_n$ , ... ) , mais seulement n.
La relation cherchée est de la forme $V_n$ = A. $k^n$ + B

je ne sias pas comment résoudre ceci :s

D'où vient ton "(0.7)^n" fourni dans ton tout premier message ?

mathtous
D'où vient ton "(0.7)^n" fourni dans ton tout premier message ?

il vient d'ici :

V(n+1)=
0,7Vn+ 12 et R(n+1)=
0,7Rn+ 6

Non : je vois une multiplication : 0,7 * $V_n$ , et $V_n$ ce n'est pas n .
La relation $V_{n+1}$ = 0, $7V_n$ + 12 "ressemble" à une suite géométrique mais ce n'en est pas une à cause du 12.
Le but est de se ramener à une suite géométrique .
La méthode que tu as du voir en cours consiste à utiliser une suite auxiliaire :
pose $W_n$ = $V_n$ - 40 <=> $V_n$ = $W_n$ + 40.
En utilisant la relation ( de récurrence ) $V_{n+1}$ = 0, $7V_n$ + 12 , commence par exprimer $W_{n+1}$ en fonction de $W_n$ .

W(n+1)= Wn + 40 - 40 = Wn

Non : remplace Vn et Vn+1 dans la relation Vn+1 = 0,7Vn + 12 :
Wn+1 + 40 = 0,7( Wn + 40) + 12
Continue.

mathtous
Non : remplace Vn et Vn+1 dans la relation Vn+1 = 0,7Vn + 12 :
Wn+1 + 40 = 0,7( Wn + 40) + 12
Continue.

Wn+1 = 0,7Wn

Oui .
Donc cela prouve que Wn est une suite géométrique de raison 0,7.
Partant de W0 ( que tu peux calculer puisque tu connais V0) ,
tu as : W1 = 0,7W0
W2 = 0,7W1
...
Wn = 0,7 Wn-1
En multipliant tout , tu trouves Wn
en fonction de n( et de W0 connu ).

mathtous
Oui .
Donc cela prouve que Wn est une suite géométrique de raison 0,7.
Partant de W0 ( que tu peux calculer puisque tu connais V0) ,
tu as : W1 = 0,7W0
W2 = 0,7W1
...
Wn = 0,7 Wn-1
En multipliant tout , tu trouves Wn
en fonction de n( et de W0 connu ).

W0= 20??
W1= 0,7*20=14

Non : W0 = V0-40 = -20
W1 est inutile , mais si tu veux le calculer , tu dois trouver -14.
Mais tu ne réponds pas à la question : Wn en fonction de n .
Je t'ai donné un conseil ci-dessus .

mathtous
Non : W0 = V0-40 = -20
W1 est inutile , mais si tu veux le calculer , tu dois trouver -14.
Mais tu ne réponds pas à la question : Wn en fonction de n .
Je t'ai donné un conseil ci-dessus .

je trouve 0,7^n?

Non : tu joues aux devinettes ...
W1 = 0,7W0
W2 = 0,7W1
...
Wn = 0,7 Wn-1
Multiplietout à gauche et à droite , ça se simplifiera.
Le résultat dépend à la fois de n et de W0

mathtous
Non : tu joues aux devinettes ...
W1 = 0,7W0
W2 = 0,7W1
...
Wn = 0,7 Wn-1
Multiplietout à gauche et à droite , ça se simplifiera.
Le résultat dépend à la fois de n et de W0

je suis désole je ne sais pas comment on fait pour multiplier...

Ah ?
à gauche : W1W2...Wn
à droite : 0,7W00,7W1...0,7Wn-1
Donc W1W2*...Wn = 0,7W00,7W1...0,7Wn-1
Il y a des simplifications: par W1W2*...Wn-1 qui sont communs des deux côtés.
Reste :
Wn = 0, $7^n$ *W0

Ensuite , tu utilise Vn = Wn + 40 ( et W0 = -20 ) pour exprimer Vn en fonction de n .

mathtous
Ah ?
à gauche : W1W2...Wn
à droite : 0,7W00,7W1...0,7Wn-1
Donc W1W2*...Wn = 0,7W00,7W1...0,7Wn-1
Il y a des simplifications: par W1W2*...Wn-1 qui sont communs des deux côtés.
Reste :
Wn = 0, $7^n$ *W0

Ensuite , tu utilise Vn = Wn + 40 ( et W0 = -20 ) pour exprimer Vn en fonction de n .

Vn+40=0, $7^n$ *-20?

1)Ecris plutôt : -200, $7^n$
2) Ceci , c'est Wn , pas Vn
Vn = Wn +40 , donc Vn = -200, $7^n$ + 40
C'est la réponse à la question.
Je te laisse faire la même chose pour Rn.

mathtous
1)Ecris plutôt : -200, $7^n$
2) Ceci , c'est Wn , pas Vn
Vn = Wn +40 , donc Vn = -200, $7^n$ + 40
C'est la réponse à la question.
Je te laisse faire la même chose pour Rn.

Non.
Je dois me déconnecter pour le moment.
Mais utilise
la même méthodeque pour Vn , sauf que cette fois-ci , pose Wn = Rn -20 <=> Rn = Wn + 20

mathtous
Non.
Je dois me déconnecter pour le moment.
Mais utilise
la même méthodeque pour Vn , sauf que cette fois-ci , pose Wn = Rn -20 <=> Rn = Wn + 20

Rn=-10*0,7^n +20??
J'avais oublié le 0,7

Non :
Citation
utilise la même méthode que pour Vn , sauf que cette fois-ci , pose Wn = Rn -20 <=> Rn = Wn + 20

Détaille les calculs :Rn+1 = 0,7Rn + 6
donc : Wn+1 + 20 = 0,7(Wn + 20) + 6
Continue

mathtous
Non :
Citation
utilise la même méthode que pour Vn , sauf que cette fois-ci , pose Wn = Rn -20 <=> Rn = Wn + 20

Détaille les calculs :Rn+1 = 0,7Rn + 6
donc : Wn+1 + 20 = 0,7(Wn + 20) + 6
Continue

Attention : ce n'est pas le même Wn que précédemment ( j'ai gardé la même lettre pour ne pas compliquer , mais tu pourras en changer quand tu rédigeras ).
Donc ici , W0 ne vaut pas -20 .
R0 = 40 , et W0 = R0 -20 , donc ici , W0 = 20 (c'était -20 pour
l'autreW0 : celui associé à Vn ).
Donc Wn = 200, $7^n$
Et c'est Rn qui est ensuite égal à 200, $7^n$ + 20
Pour les limites , par contre , ton raisonnement était juste , mais basé sur des résultats fantomatiques.

mathtous
Attention : ce n'est pas le même Wn que précédemment ( j'ai gardé la même lettre pour ne pas compliquer , mais tu pourras en changer quand tu rédigeras ).
Donc ici , W0 ne vaut pas -20 .
R0 = 40 , et W0 = R0 -20 , donc ici , W0 = 20 (c'était -20 pour
l'autreW0 : celui associé à Vn ).
Donc Wn = 200, $7^n$
Et c'est Rn qui est ensuite égal à 200, $7^n$ + 20
Pour les limites , par contre , ton raisonnement était juste , mais basé sur des résultats fantomatiques.

Merci beaucouuuuuuu ppppp :=

De rien.