Comment calculer la dérivée d'une fonction

[Lobster]

Bonjour !

J'ai comme question: Dérivez ces fonctions. Simple !

Seulement je bute sur certaines d'entre elles !

Notamment celles-ci :

f(x) = 3x + ((5x - 2) / (-x + 8)) /Les parenthèses servent à rien c'est juste pour vous "faciliter" la lecture, comme vous avez du vous en doutez .../

et j'obtiens
f'(x) = 3 + 5(-x + - (-1)(5x - 2)/ (-x + 8)² soit au final 3 + 42 / (-x + 8)² mais je suis pas sûr de mon résultat...

et une autre plus complexe, pour moi en tout cas...

f(x)= (x² + 3)(x^5 - 2x + 1)
j'obtiens f'(x) = 2x( x^5 - 2x + 1) + (x² + 3)(5x^4 - 2)
et je bloque à ce moment f'(x) = 2x^6 - 4x² + 2x + 5x^6 - 2x² + 15x^4 - 6

J'ai un doute sur cette partie (x² + 3)(5x^4 - 2).
Est-ce que je dois développer ou bien faire (x² + 3)× 5x^4 - (x² + 3)× 2 ?

Voila voila, j'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance !

[Shloub]

Ca me paraît correct, et si tu regardes la fin, tu devrais savoir que ça revient au même (sauf erreur de ma part), c'est le principe de factorisation/développement/distribution.

Edit de Zorro : copier-coller de la réponse postée dans un mauvais sujet supprimé

[Lobster]

Pour la première fonction, on m'as dit que c'était 38 et non 42 le résultat c'est pour ça que j'ai un doute ...

Et donc pour le deuxième, je dois obtenir 17x^4+2x+6 ou pas ?
Voici mon raisonnement :

2x^6 - 4x² + 2x + 5x^6 - 2x² + 15x^4 - 6
-2x^4 + 2x + 4x^4 + 15x^4 - 6
2x^4 + 15x^4 + 2x-6
17x^4 + 2x - 6

Je pense que mon raisonnement est faux...

[Lobster]

Après moultes essais je trouve ça :

2x^6 - 4x² + 2x + 5x^6 - 2x^2 + 15x^4 - 6
2x^6 + 5x^6 - 4x² -2x² + 15x^4 + 2x - 6
7x^6 + 15x^4 - 2x² + 2x - 6

Mais je suis pas sur... j'ai réussi à trouver 7x^6 - 6x² + 15x^4 - 6 aussi ...

Ça me parait plus juste en faites... je pense aussi que c'est plus juste que ce que j'ai trouvé avant ...

[Lobster]

Quelqu'un pourrait me dire si mes raisonnements sont juste ou pas ?

1. Concernant la première, après avoir refait mes calculs, je trouve :
   5(-x +8) - -1(5x-2)
   5(-x+8) + 1(5x-2)
   -5x + 40 + 5x -2
   40 + (-2)
   40-2
   38

Ça me semble un peu tiré par les cheveux mais bon...

2. et pour la deuxième je trouve :

2x^6 - 4x² + 2x + 5x^6 - 2x² + 15x^4 - 6
2x^6 + 5x^6 - 4x² -2x² + 15x^4 + 2x - 6
7x^6 + 15x^4 - 2x² + 2x - 6

Mais aussi

2x^6 - 4x² + 2x + 5x^6 - 2x² + 15x^4 - 6
7x^6 - 6x² + 15x^4 + 2x - 6

Alors je ne sais pas trop lequel est juste... Je penche plus pour le 2ième résultat.

[Shloub]

"2x^6 + 5x^6 - 4x² -2x² + 15x^4 + 2x - 6
7x^6 + 15x^4 - 2x² + 2x - 6"

T'as une erreur de signe, pour le -4x² -2x², ça fait -6x², non ?

[Lobster]

Oui tout à fait xD Merci ^^

[Lobster]

j'en est oubliée une que voici :

(5x²+3x-2) + (√x/x²)

Donc voila après je trouve :
l'astérisque sert de multiplicateur

10x + 3 + ((2x√x) - (1/2√x* x²)) / (x²)²

et en développant :

10x+3 + (2√x - x²/2√x) / (x²)²

Voila voila... Encore une fois, je suis très incertain du résultat obtenu !

[Lobster]

Je reposte pour que ça soit plus lisible...

$5x^2+3x-2+\frac{\sqrt{x}}{x^2}$

Donc voila après je trouve :

$10x+3+\frac{\sqrt{x}\times 2x-\frac{1}{2\sqrt{x}}\times x^2}{(x^2{)}^2}$

et j'obtiens :
$10x+3+\frac{2x\sqrt{x}-\frac{x^2}{2\sqrt{x}}}{(x^2{)}^2}$

[Lobster]

Petite correction :

• J'obtiens
  $10x+3+\frac{\frac{x^2}{2\sqrt{x}}-2x\sqrt{x}}{(x^2{)}^2}$
  Est-ce qu'on peut simplifier ou pas ?

• Et celle-ci, est-ce que c'est juste ou pas ?

$f(x)=\frac{1}{x}\times \sqrt{x}$

• J'obtiens par dérivation :
  $f'(x) = \frac {-\sqrt{x}} {x^2^} + \frac {1} {2x\sqrt{x}}$
  Est-ce que je peux encore simplifier ou pas ?

NdZ : inutile de jouer avec les tailles 4$ ou 6$ etc. ça gêne la lecture plus qu'autre chose.

[Shloub]

Pour commencer, oui, ça me paraît correct.

Ensuite, pour ce qui est de la simplification, là ça va quasiment tenir de la notation, mais c'est intéressant, on va voir ça.

Bon, déjà, pour tes fractions, tu peux essayer de mettre une puissance de x en facteur, pour ton premier résultat je crois voir que tu peux mettre x en facteur. Sinon, en général on essaye d'éviter les racines au dénominateur, tu peux par exemple re-multiplier par la racine elle-même.

Ensuite, je sais pas si vous avez vu ça encore, mais tout ce qui est de la forme 1/(x^n) ou racine n-ième de x peut se mettre sous la forme x^y, avec y fonction de n bien sûr.

Pour ça, il faut se mettre dans la tête deux choses : l'inverse (1/x) donne des puissances opposées (1/x = x^-1, 1/(x^3)=x^-3...), la racine donne des puissances "moitiés" ($sqrt$x)=x^(1/2), racine 13e (x) = x^(13/2)...).

Ainsi, pour ta dernière dérivée par exemple, tu peux la calculer comme tu l'as fait, tu peux aussi la calculer en mettant sous la forme d'un quotient √x/x ou sous la forme d'une puissance (je te laisse le soin de trouver laquelle), et tu pourras appliquer : f(x)=x^n f'(x)=nx^(n-1)

Voilà voilà, si tu es perfectionniste/curieux.