Intégrales : la formule de Wallis



  • Bonjour, tout le monde!!!

    je refais mes exos de cette année et y en a quelques uns que je bute et je ne comprends rien 😡
    j'espère que vous pourrez m'aider

    Enoncé

    On pose, pour entier naturel n

    in=0π/2,sinnxdxi_n = \int_0^{\pi/2} , \sin^n x \text{d} x

    1. A l’aide d’une intégration par partie, montrer pour n strictement supérieur à 2 que

    in=n1n×in2i_n = \frac{n-1}n \times i_{n-2}
    (on pourra poser u(x)= sinn1sin^{n-1} x)

    1. Calculer I0I_0 et I1I_1, puis montrer par récurrence que si n ≥1 on a

    i2n=1×3×5××(2n1)2×4×6××(2n)×π2i_{2n} = \frac{1\times3\times5\times\cdots\times(2n-1)}{2\times4\times6\times\cdots\times(2n)} \times \frac{\pi}2

    et pour n ≥ 1 on a

    i2n+1=2×4×6××(2n)1×3×5××(2n1)×12n+1i_{2n+1} = \frac{2\times4\times6\times\cdots\times(2n)}{1\times3\times5\times\cdots\times(2n-1)}\times\frac1{2n+1}

    3.a) De l’égalité
    in=0π/2sinnxdx,i_n= \int_0^{\pi/2} \sin^n x \text{d}x,
    montrer que InI_n - In+1I_{n+1} est l’intégrale d’une fonction positive.

    En déduire que la suite(In) est décroissante.

    b) Etablir que InI_n est strictement compris entre (n-1)/n In1I_{n-1} et In1I_{n-1}

    (on pourra utiliser 1).

    Comparer In2I_{n-2} et In1I_{n-1}.

    c) Montrer alors que

    limi2n+1i2n=1\lim \frac{i_{2n+1}}{i_{2n}} = 1

    d) Etablir la formule de Wallis :

    limn+,(2×4×6××(2n)1×3×5××(2(n1))2×12n+1=π2\lim_{n\to+\infty} , \left(\frac{2\times4\times6\times\cdots\times(2n)}{1\times3\times5\times\cdots\times(2(n-1)}\right)^2 \times \frac1{2n+1} = \frac{\pi}2

    Merci d'avance

    NdZ : re-travail du code... quel bazar ! mais au moins c'est plus lisible.


  • Modérateurs

    Salut samie,

    Qu'as-tu fait pour le moment ? Vois-tu comment réaliser l'intégration par partie ?



  • je n'ai encore rien fait car je n'y arrive pas dès la 1ère question :
    oui je me souviens de l'intégration par partie mais j'ai juste un problème avec sin²x, je ne sais pas comment dériver ça!
    est ce que sinnsin^nx=(1+cos2n)/2?

    Ps: merci d'avoir modifié le message : c'est beaucoup plus jolie


  • Modérateurs

    pourquoi sin²(x) ? Ici d'après l'indication on pose u(x)=sinn1u(x)=sin^{n-1}(x), et donc v'(x)=... ?
    Ensuite il faut dériver u(x)=sinn1u(x)=sin^{n-1}(x), pour ce faire il faut se souvenir de la dérivation de fonctions composées : ici, si tu poses f(x)=sin(x) et g(x)=xn1g(x)=x^{n-1}, tu as u(x)=g(f(x)) que tu peux alors dériver grâce à la formule de dérivation des fonctions composées...
    Il faudra ensuite que tu intègres v' pour pouvoir utiliser la formule d'intégration par partie !



  • pourquoi on pose u(x)= sinn1sin^{n-1} et non pas sinnsin^n?



  • v'(x)=x et v(x)=1/2 x²
    est ce que u'(x)=g'(f'(x))?



  • samie
    v'(x)=x et v(x)=1/2 x²
    est ce que u'(x)=g'(f'(x))?

    non c'est pas le bon v'(x)
    regarde bien ,il faut avoir InI_n=∫sinn1sin^{n-1}(x)×v'(x)dx
    donc v'(x)=...



  • Bonjour

    Il faut juste savoir que

    sinn(x),=,(sin(x))n,=,(sin(x))n1,×,,sin(x)\text{sin}^n(x),=, \left ( \text{sin}(x)\right)^n,=,(\text{sin}(x))^{n-1} , \times , , \text{sin}(x)

    Et en posant u(x) = sinn1sin^{n-1 }(x) et v '(x) = sin(x)

    on a bien sinn(x),=,u(x),v(x)\text{sin}^n(x),=,u(x),v'(x)

    et on peut faire une intégration par partie que je te laisse faire



  • Zorro
    Bonjour

    Il faut juste savoir que

    sinn(x),=,(sin(x))n,=,(sin(x))n1,×,,sin(x)\text{sin}^n(x),=, \left ( \text{sin}(x)\right)^n,=,(\text{sin}(x))^{n-1} , \times , , \text{sin}(x)

    Et en posant u(x) = sinn1sin^{n-1 }(x) et v '(x) = sin(x)

    on a bien sinn(x),=,u(x),v(x)\text{sin}^n(x),=,u(x),v'(x)

    et on peut faire une intégration par partie que je te laisse faire

    Merci Zorro d'avoir répondu à la place de samie qui devait normalement le savoir vu qu'elle a deja fait l'exo (vu que c'est un exo de revision)



  • A première vue , samie avait oublié les règles sur les puissances ! Un petit rappel du cours de 4ème ne fait de mal à personne !



  • merci, c'est sympa de m'avoir aidé ! je viens de comprendre ("mieux vaut tard que jamais")
    'cet exo on l'a fait en contrôle,et ce n'est pas la peine que je vous dise que pour moi ce fut la catastrophe )
    intégration pas parties:
    posons u(x)=sinn1u(x)=sin^{n-1} (x) u'(x)=1/n<em>cosn1(x)=1/n<em>cos^{n-1}
    v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
    u et v sons dérivables sur [0;π/2] et u' et v' sont continues sur [0; π/2]
    In=∫$$_0$^{π$/2}$sin^{-n}xx dx=[sinn1^{n-1}(x)-cos(x)]0_0^{π/2}$-∫$0_0^{π$/2}$1/ncos^{n-1}$(x)-cos(x)
    =0-1/n[-1/n sinsin^{n-1}(x)sin(x)](x)-sin(x)]_0π/2^{π/2}
    =1/n*(1/n)
    je pense que j'ai loupé une étape car ce n'est pas le bon résultat?



  • Normal que ton résultat soit faux , u'(x) c'est faux !

    Quelle est la dérivée de (w)n(w)^n ?



  • nw'(x)n1(x)^{n-1}
    ncosn1ncos^{n-1}(x) ,?



  • Ah que non ! Il faut reprendre tes cours !



  • c'est pour ça que je retape!! mais c'est pas une raison pour que je n'y arrive pas:
    =nw(x)n1=nw(x)^{n-1}
    c'est ce qui est écrit dans mon cour!



  • samie
    c'est pour ça que je retape!! mais c'est pas une raison pour que je n'y arrive pas:
    =nw(x)n1=nw(x)^{n-1}
    c'est ce qui est écrit dans mon cour!

    revois bien les dérivées de composées de fonctions


  • Modérateurs

    Bon reprenons, je te donne la formule, je te laisse l'appliquer et la retenir le mieux possible (il faut que tu la connaisses) :
    La dérivée de (w)n(w)^n est n*(w')wn1)*w^{n-1} (il s'agit en fait de la dérivée de :x->g(w(x)) où g(x)=xng(x)=x^n, cette dérivée étant, d'après les formules de dérivation de fonctions composées : (w')*g'(w), ce qui te donne bien la formule précédente...)



  • merci de m'aider
    j'essaye la dérivée:
    u'(x)= (n-1)cos^(n-1)*sin^(n-2)?



  • samie
    merci de m'aider
    j'essaye la dérivée:
    u'(x)= (n-1)cos^(n-1)*sin^(n-2)?
    non

    u(x)=sinn1(x)u(x)= \sin^{n-1} (x)

    donc

    u(x)=(n1)×sinn2(x)×cos(x)u'(x)= (n-1) \times \sin^{n-2} (x) \times \cos (x)

    NdZ : lorsqu'il y a des symboles, exposants, dérivées (voire indices, intégrales...) c'est tout de même plus lisible en LaTeX, non ?



  • Prof_maths31
    samie
    merci de m'aider
    j'essaye la dérivée:
    u'(x)= (n-1)cos^(n-1)*sin^(n-2)?

    non u(x)= sinn1sin^{n-1}(x)
    donc u'(x)= (n1)sinn2(n-1)*sin^{n-2}(x)*cos(x)

    tu sais pourquoi c'est le bon u'(x) ça ?
    réponse:
    parceque la dérivée de (f(x))n(f(x))^n est n(f(x))n1n*(f(x))^{n-1}×f'(x)

    Apprend cette formule par coeur, elle revient très souvent!!!



  • d'accord merci bien, je l'ai copié et recopié donc maintenant je pense que je la connais!
    je recommence mon intégration par parties :
    posons u(x)=sinn1u(x)=sin^{n-1}(x) u'(x)=(n1)sinn2(x)=(n-1)sin^{n-2}(x)cos(x)
    v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
    $$_0$^{π$/2}$sin^nxdx=x dx= [sinn1^{n-1}(x)*(-cos(x))]0_0^{π/2}$ -∫0_0 $^{π$/2}cos(x)(n1)sin-cos(x)(n-1)sin^{n-2}(x)cos(x)(n1)sinn2(x)cos(x)(n-1)sin^{n-2}(x)cos(x)
    =0[sin(x)(n1)(cos=0-[-sin(x)(n-1)(-cos^{n-2}(x))sin(x)](x))sin(x)]_0π/2^{π/2}
    est ce que c'est bon jusque là?



  • samie
    d'accord merci bien, je l'ai copié et recopié donc maintenant je pense que je la connais!
    je recommence mon intégration par parties :
    posons u(x)=sinn1u(x)=sin^{n-1}(x) u'(x)=(n1)sinn2(x)=(n-1)sin^{n-2}(x)cos(x)
    v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
    $$_0$^{π$/2}$sin^nxdx=x dx= [sinn1^{n-1}(x)*(-cos(x))]0_0^{π/2}$ -∫0_0 $^{π$/2}cos(x)(n1)sin-cos(x)(n-1)sin^{n-2}(x)cos(x)(n1)sinn2(x)cos(x)(n-1)sin^{n-2}(x)cos(x)
    =0[sin(x)(n1)(cos=0-[-sin(x)(n-1)(-cos^{n-2}(x))sin(x)](x))sin(x)]_0π/2^{π/2}
    est ce que c'est bon jusque là?

    non la deuxieme integrale est fausse c'est ∫uv' car ∫u'v = [uv] -∫uv'



  • sinsin^{n-1}(x)<em>sin(x)=[sinn1(x)<em>sin(x)=[sin^{n-1}(x)(-cos(x)]-∫(n1)sinn2(n-1)sin^{n-2}(x)cos(x)(-cos(x))
    c'est mieux?


  • Modérateurs

    Oui ça c'est juste (à part qu'il manque les dx et les bornes d'intégrations...), il te reste à transformer un peu ça : tu peux déjà calculer ce qu'il y a entre crochet, puis pour ce qu'il y a sous l'intégrale, il faudrait pouvoir se ramener à In2I_{n-2}, d'après l'énoncé, ça y ressemble un peu mais il y a un cos²(x) qui est un peu gênant, vois-tu comment procéder pour t'en débarasser ?



  • bon il reste à réecrire au propre (avec les bornes des intégrales
    sachant que tu as deja trouver que le calcul de ce qu'il y a entre les crochets pris entre 0 et Pi/2 est nul)

    donc tu obtient quoi pour le moment?



  • merci^^
    = 0+∫$$_0$^{π$/2}$sin^{n-2}$(x)cos²(x)
    je ne sais pas comment faire pour me débarasser de cos²x mais je sais que cos²(x)=(1+cos2x)/2 je ne sais pas si ça un rapport?



  • MIEUX VAUT UTILISER UNE AUTRE FORMULE AVEC cos2cos^2x et sin2sin^2x
    tu en connais une ?

    mais avant il fut que tu réecrives ce que tu as ecris car c'est incomplet

    on a bien InI_n= (n-1) ∫sinn2sin^{n-2}(x) × cos2cos^2(x)



  • je connais que ça cos²x+sin²x=1

    j'ai une petite question: quand on arrive à cette 2ème intégrale, lorsque l'on l'a met en crochets, faut il lui chercher une primitive?


  • Modérateurs

    Citation
    je connais que ça cos²x+sin²x=1
    Oui et c'est une formule très intéressante ici !

    Quant à l'intégrale, je ne vois pas trop ce que tu veux dire par "lorsqu'on la met sous crochet", mais en tout cas chercher une primitive n'est pas une bonne idée, parce que vu l'allure de la fonction tu auras beaucoup de difficulté à trouver une primitive simple !



  • sinsin^{n-2}(x)=sinn4(x)=sin^{n-4}sin²(x)
    sin²(x)=1/sinn2(x)=1/sin^{n-2}(x)
    non?


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