Limites de fonctions



  • Bonjour !

    J'ai un exo que j'ai fait, et je voudrais votre avis :

    Alors j'ai la fonction :

    f(x)=2x²-x+1 + a/x

    Df= R*+ et a∈R

    Je dois déterminer la limite de f quand x tend vers +∞
    puis quand f tend vers 0 en discutant les valeurs de a.

    Alors j'ai fait :

    lim 2x²-x+1 = 1
    x→+∞

    lim a/x = 0
    x→+∞

    Soit
    lim f(x)=+∞
    x→+∞

    lim 2x²-x+1 = +∞
    x→+∞

    lim a/x = +∞
    x→0
    a<0

    lim a/x = -∞
    x→0
    a>0

    Donc

    lim f(x) = +∞
    x→0
    a<0

    lim f(x) = -∞
    x→0
    a>0

    Merci d'avance pour votre réponse !



  • Bonjour,

    Il faut éclater tes 2 dernières limites en 4

    si a > 0 , limx0+,f(x),=,\lim _{x \rightarrow 0^+},f(x) ,=,

    si a > 0 , limx0,f(x),=,\lim _{x \rightarrow 0^-},f(x) ,=,

    si a est négataif , limx0+,f(x),=,\lim _{x \rightarrow 0^+},f(x) ,=,

    si a est négatif, limx0,f(x),=,\lim _{x \rightarrow 0^-},f(x) ,=,

    Pardon , le symbole inférieur fait bugger LaTeX , alors j'écris négatif à la place de < 0



  • OK, mais les deux precedentes j'en fait quoi ?

    Edit : En fait je comprends pas cmt faire avec les 0+ et -



  • tu fais pareil !



  • J'ai posté un edit,

    je disais que je comprends pas cmt faire avec les 0+ et -

    Il y a quoi qui est juste et qui me sert ?



  • up 😕 Dsl mon sujet s"enfonce (a)



  • **Pour a > 0 il faut étudier la limite de a/x , quand x tend vers 0 par valeurs positives

    limx0+(a,x,)=+\lim_{x \rightarrow 0^+} \left(\frac{a}{, x,}\right)= +\infty

    car un nombre positif , divisé par un petit nombre positif donne un grand nombre positif

    et quand x tend vers 0 par valeurs négatives

    limx0(a,x,)=\lim_{x \rightarrow 0^-} \left(\frac{a}{, x,}\right)= -\infty

    car un nombre positif , divisé par un petit nombre négatif donne un grand nombre négatif**Pour a négatif , il faut étudier la limite de a/x , quand x tend vers 0 par valeurs positives

    limx0+(a,x,)=\lim_{x \rightarrow 0^+} \left(\frac{a}{, x,}\right)= -\infty

    car un nombre négatif , divisé par un petit nombre positif donne un grand nombre négatif

    et quand x tend vers 0 par valeurs négatives

    limx0(a,x,)=+\lim_{x \rightarrow 0^-} \left(\frac{a}{, x,}\right)= +\infty

    car un nombre négatif , divisé par un petit nombre négatif donne un grand nombre positif



  • D'accord merci beaucoup !

    Je vais m'en occuper pour bien comprendre, et je reposte si jai un problème !!



  • Ok J'ai pas dautres qestions si ce nest :

    lim 2x²-x+1 = 1
    x→+∞

    lim a/x = 0
    x→+∞

    Soit
    lim f(x)=+∞
    x→+∞

    est ce que cetait bon ca ?

    Dois étudier la limite quand a=0 pour la seconde ?



  • lim 2x²-x+1 n'est pas égale à 1 ......
    x→+∞

    De plus j ne comprends pas très bien ta limite finale , avec ce que tu trouves au dessus !

    lim f(x)=+∞
    x→+∞



  • heu oui je sais pas...

    Je trouve:

    lim 2x²-x+1 = +∞
    x→+∞

    Si a<0
    lim a/x = 0-
    x→+∞

    Si a<0
    lim a/x = 0+
    x→+∞

    dc
    Si a<0
    lim f(x) = -∞
    x→+∞

    et
    Si a>0
    lim f(x) = +∞
    x→+∞

    Ca me parait plus clair



  • Si a<0
    lim f(x) = -∞
    x→+∞

    Et non .... cette limite ne dépend pas du signe de a ......

    Tu ajoutes un nombre positif ou négatif mais proche de 0 à 2x²-x+1 qui devient .....



  • +∞

    cest une somme donc la somme de limite quand cest 0 et +∞ ca fait bien +∞



  • Up /: 😲



  • Salut

    Faut pas se mélanger les pinceaux ... Reprenons calmement :

    f(x)=2x²-x+1 + a/x

    f est définie sur ]-∞;0[ U ]0;+∞[

    On va donc calculer ses limites à -∞ , +∞ puis à gauche et à droite de 0.

    A partir de ton premier post :

    1. limite au voisinage de +∞ :

    lim 2x²-x+1 = +∞
    x→+∞

    lim a/x = 0
    x→+∞

    Soit
    lim f(x) = +∞
    x→+∞

    1. limite au voisinage de -∞ :

    lim 2x²-x+1 = +∞
    x→-∞

    lim a/x = 0
    x→-∞

    Soit
    lim f(x) = +∞
    x→+∞

    Les limites de la fonction f au voisinage de +/-∞ sont indépendantes du signe de a.

    1. limite au voisinage de 0

    lim 2x²-x+1 = 1
    x→0

    mais

    lim a/x = ?
    x→0

    Si a non nul, a/x va tendre vers l'infini mais c'est un quotient, son signe va dépendre du signe de a ET du signe de x !
    On est donc obligé d'étudier cette limite à gauche et à droite de 0 et de discuter en fonction du signe de a.

    3-1) limite à gauche de 0 :

    Si a<0 alors

    lim a/x = +∞
    x→0
    x<0
    a<0

    Par conséquent

    lim f(x) = +∞ ( de la forme 1+∞ )
    x→0
    x<0
    a<0

    Si a>0 alors

    lim a/x = -∞
    x→0
    x<0
    a>0

    Par conséquent

    lim f(x) = -∞ ( de la forme 1-∞ )
    x→0
    x<0
    a>0

    3-2) limite à droite de 0 :

    Si a<0 alors

    lim a/x = ...
    x→0
    x>0
    a<0

    ...

    Je te laisse poursuivre, j'ai presque tout fait.

    Si tu veux être exhaustive, tu peux aussi traiter le cas où a = 0, c’est facile ---

    Puis tu traces la courbe à la calculette avec a=0, a=-1 puis a=1 par ex pour vérifier tes résultats.



  • Pfiou merci beaucoup.

    Alors j'ai avancé, mais en fait la fonction f est definée sur R*
    +!

    Donc on ne doit pas tout étudier ?
    On doit étudier la limite en +infini, et a droite de zero non ?

    Sinon :

    3-2) limite à droite de 0 :

    Si a<0 alors

    lim a/x = -∞
    x→0
    x>0
    a<0

    Par conséquent

    lim f(x) = -∞ ( de la forme 1-∞ )
    x→0
    x>0
    a<0

    SI a>0 alors

    lim a/x = +∞
    x→0
    x<0
    a<0

    Par conséquent

    lim f(x) = +∞ ( de la forme 1+∞ )
    x→0
    x<0
    a<0

    Si a=0
    Pour ce cas la, je ne vois pas comment faire !? Si a=0 et que x tend vers 0, on a une forme indéterminée ?

    Merci beaucoup pour votre réponse !



  • salut

    j'ai lu en diagonale...

    ton seul pb semble tenir dans
    Citation
    Si a=0
    Pour ce cas la, je ne vois pas comment faire !? Si a=0 et que x tend vers 0, on a une forme indéterminée ?
    non : si a = 0 le terme en a/x n'existe pas, c'est tout.



  • D'accord merci,

    mais on en fait rien alors ?

    Si ce terme n'existe pas, la limite de f quand x tend vers n'importe quoi, cest la limite de 2x²-x+1 alors si je comprends bien ?



  • Oui si a=0 f(x)=2x²-x+1 tout simplement



  • Ok merci !

    Quant au fait que f soit définie sur R*+ ??!
    On doit étudier la fonction sur quoi ?? Parce que la on a tout fait !



  • Jai oublié la fin :

    1. limite quand a=0

    Si a=0
    Le terme a/x n’existe pas.

    Donc f(x)=2x²-x+1

    lim f(x) =
    x→-∞

    lim 2x² =+∞
    x→-∞

    et

    lim f(x) =
    x→+∞

    lim 2x² =+∞
    x→+∞



  • MsVixene
    Si a=0 Le terme a/x n’existe pas.

    Si a=0 alors a/x = 0 et n’existe pas et f(x)=2x²-x+1

    Tes limites dans ce cas me semblent correctes.

    Bon we



  • merci beaucoupp !!
    également, bon weekend


 

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