équations avec paramètres : solutions identiques


  • M

    voila sa me semble etre un exercice supersimple et pourtant je ne voi pas vraiment comment faire
    determiner les reels m et n pour que les equations :
    x² - mx + m - n = 0 et 3x² - (m+6) + 1 - n = 0
    admettent les memes solutions

    merci d'avance


  • Zorro

    BONJOUR,

    L'équation : x² - mx + m - n = 0 admet 2 solutions si et seulement si ....

    L'équation : 3x² - (m+6) + 1 - n = 0 admet 2 solutions si et seulement si ....

    et il faut que les solutions soient égales ! ...

    Tu essayes de réfléchir !


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    Je ne suis arrivé à rien en calculant les discriminants.

    Il faut que les −b±b2−4ac2a\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}2ab±b24ac de chacune des 2 équations soient égaux. Cela te donne 2 équationsà résoudre.

    Si tu as vu les sommes et produits de racines, les équations sont encore plus simples.

    Par contre une fois les solutions trouvées, une vérification s'impose, puisqu'on n'a pas vérifié les conditions d'existence.


  • M

    Bonjour,
    L'écriture de la seconde équation me paraît suspecte :
    s'agirait-il de 3x² - (m+6)
    x+ 1-n ?


  • Thierry
    Modérateurs

    C'est en effet ainsi que j'avais compris l'équation.


  • M

    OK, merci.
    Dans ce cas, la somme et le produit des racines fournit en effet la réponse.

    C'est équivalent à dire que les coefficients sont identiques
    à conditionde multiplier tout par 3 dans la première.


  • M

    Une équation du second degré peut s'écrire :
    a(x-u)(x-v) = 0 , où u et v sont les racines, et a le "premier" coefficient nécessairement non nul ( sinon le degré tombe ).
    a≠0 donc l'équation équivaut à : (x-u)(x-v) = 0
    i.e. x² - (u+v)x + uv = 0
    Cette forme est unique à partir du moment où le "premier" coefficient vaut 1.

    Si une autre équation s'écrit x² - (u'+v')x + u'v' = 0 et admet les mêmes racines, on a u+v = u'+v' et uv = u'v'

    Le raisonnement est le même tant que les premiers coefficients sont
    égaux( pas nécessairement à 1 ).

    Je ne vois pas où est l'erreur : merci de m'éclairer.


  • Thierry
    Modérateurs

    Non pas d'erreur. J'avais effacé entre temps mon intervention trop rapide.


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