Etudier la convergence d'une suite

[Babouchka]

Bonsoir, j'aurai besoin de votre précieuse aide pour m'aider à finir cet exercice de mon DM. J'ai réussi le 1 mais je n'arrive pas le 2 et qu'à moitié le 3.
Merci d'avance.

Ce que j'ai trouvé pour le 1)

La suite U est définie par $U_0$=2 et $U$_{n+1}$=1/3U_n$ + 23/27 pour tout entier naturel n

U est convergente et décroissante et a pour limite 23/18

Le 2) sur lequel je bloque.
a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que
$(1/10^2$) + $(1/10^3$ + ... + $(1/10^{n+1}$) = $(1/90)(1-(1/10^n$))

b) La suite v est définie par $V_n$=1,27777...7, avec n décimales consécutives égales à 7.
Ainsi $V_0$=1,2 $V_1$=1,27 $V_2$=1,277.
En utilisant le a), démontrer que la limite de la suit V est un nombre rationnel r (c'est à dire le quotient de deux entiers).

3. La suite U définie au 1) et la suite V sont-elles adjacentes? Justifier

Pour le 3) deux suites sont adjacentes si l'une croit et l'autre décroit et que la limite de leur différence est égale à 0.
U est décroissante et V croissant jusque là ça va, mais la limite je ne trouve pas.

[kanial]

Salut babouchka,

Où bloques-tu exactement, dès le 2)a) ou seulement au 2)b) ?