Démontrer qu'une suite est strictement croissante par récurrence


  • G

    Bonjour à tous, c'est mon premier message.
    alors voila l'énnoncé: la suite réelle définie par U0U_0U0=0 et par la récurrence
    Un+1U_{n+1}Un+1=√(Un(U_n(Un+12)
    On me dit de démontrer que UnU_nUn<4
    Alors la j'ai fait: √(Un(U_n(Un+12)<4
    UnU_nUn+12<4²
    UnU_nUn+12<16
    UnU_nUn<16-12
    UnU_nUn<4
    Donc ca je pense que c'est bon, mais la ou je bloque, c'est quand il me demande de démontrer que la suite UnU_nUn est strictement croissante.
    Donc ca veut dire que:
    UnU_nUn < Un+1U_{n+1}Un+1
    et la ?????

    Merci de me donner un indice pour la suite 😄


  • M

    Bonjour,
    Ton raisonnement ne va pas : tu suppose ( sans le dire ) que Un+1U_{n+1}Un+1 est inférieur à 4.
    Il faut revoir la présentation : tu peux tenter une récurrence.


  • G

    Oui car dans l'énnoncé, on me dit que pour tout n∈N on a UnU_nUn <4 .
    donc je suppose que Un+1 est inférieur à 4


  • M

    Non : l'énoncé demande de le démontrer :
    Citation
    On me dit de démontrer que Un<4

    Tu ne pas donc pas le "supposer" : ce raisonnement est faux.
    Essaie une récurrence :
    La propriété est vraie pour n = 0 : U0 = 0 et 0 <4
    Supposant la propriété vraie jusqu'au rang n ( donc supposant que Un < 4 ) , tu dois le démontrer au rang n+1
    Si tu y parviens, tu peux conclure que la propriété est vraie pour tout n entier.


  • G

    Un+1<4
    √(Un+12)<4
    Un+12<4²
    Un+12<16
    Un<16-12
    Un<4

    C'est pas ca alors? je croyais l'avoir démontré, mince alors


  • M

    Non :
    Relis :
    Citation
    La propriété est vraie pour n = 0 : U0 = 0 et 0 <4
    Supposant la propriété vraie jusqu'au rang n ( donc supposant que Un < 4 ) , tu dois le démontrer au rang n+1
    Si tu y parviens, tu peux conclure que la propriété est vraie pour tout n entier.

    J'ai vérifié que la propriété est vraie pour n = 0
    Ensuite, Si Un < 4 alors ...
    Tu ne peux pas écrire des lignes d'inégalités sans les démontrer , et sans expliquer les liens avec les lignes précédentes ( même si ces inégalités sont vraies ).

    Tu dois partir de Un < 4
    et arriver à la fin à : " donc Un+1U_{n+1}Un+1 < 4 "


  • G

    Ok j'ai pas encore tout compris, mais je vais me pencher dessus a fond demain pour comprendre.
    Grand merci mathous


  • M

    A plus tard.
    Ce qui compte, c'est le raisonnement : cela ne consiste pas à aligner des lignes d'écriture mais à les lier de façon logique.


  • G

    Je pense avoir trouvé:
    on suppose que pour tout entier naturelPnaturel_PnaturelP, UPU_PUP <4. Alors on va démontrer que Un+1U_{n+1}Un+1 <4.
    L'hypothèse de recurence devient f(Up+1f(U_{p+1}f(Up+1) < f(4)
    C'est à dire Un+1U_{n+1}Un+1 <4 car f(4)=√(4+12)=4
    Conclusion: on peut dire par hérédité que UnU_nUn <4


  • M

    Globalement ça me paraît juste, mais la présentation est confuse : déjà n'utilise pas deux indices ( n et p ) mais un seul :
    Si Un < 4 ,
    alors √(Un+12) < √16 = 4
    autrement dit : Un+1U_{n+1}Un+1 < 4.

    Pour la croissance de la suite, je te propose de calculer Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn²


  • G

    D'accord mais avec cette formule je suis rapidement bloqué, car
    Un+1² - Un²
    Un+12-Un²

    c'est désespérant, je comprends rien au suite 😆


  • M

    Tu sais que Un < 4
    De plus Un est positif ( nul seulement pour n = 0 )
    Donc : 0 ≤ Un < 4

    Tu as vu que Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn² = −Un-U_nUn² + UnU_nUn + 12 , alors
    Etudie le signe de f(x) = -x²+x+12 dans l'intervalle [0;4[


  • G

    Ah ok, c'est beaucoup plus simple maintenant, je te remercie grandement, tu m'as bien aidé.


  • M

    N'oublie pas :
    Je t'ai fait calculé Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn² au lieu de Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn :
    c'est parce que , Un étant
    positif, UnU_nUn < Un+1U_{n+1}Un+1 <=> UnU_nUn² < Un+1U_{n+1}Un+1²

    N'hésite pas à demander si tu éprouves encore des difficultés.


  • G

    Oui j'ai encore un problème puisque quand je fais le calcule je trouve que la courbe est décroissante sur l'intervalle [0;4[ alors qu'il me demande de prouver qu'elle est strictement croissante.
    Tu peux me dire si toi tu trouves comme moi?


  • M

    Non.
    Fais attention au signe de la dérivée : son premier coefficient est négatif.
    Précise tes résultats :
    f '(x) = ??


  • G

    je trouve f'(x)=-2x+1
    donc la courbe à une inclinaison négative


  • M

    Non.
    f '(x) n'est pas constamment négative.
    Pour quelle valeur de x s'annule-t-elle ?
    Quel est son signe avant et après cette valeur ?


  • G

    Ca s'annule en 1/2, donc elle est croissante de -∞ à 1/2 et décroissante de 1/2 à +∞ .Mais mon intervalle d'étude est [0;4[, donc je m'en préoccupe pas. Enfin je crois


  • M

    Pas de panique :
    f est donc croissante de 0 à 1/2 puis décroissante de 1/2 à 4.
    Mais on se moque qu'elle soit croissante ou décroissante : ce qui compte c'est son
    signe( on veut savoir si UnU_nUn² < Un+1U_{n+1}Un+1² )
    Calcule f(0) et f(4) ( et si tu veux f(1/2) mais ce n'est pas obligatoire ).


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