Déterminer un polynome du second degré défini par récurrence

Bonsoir tout le monde ,

Alors voila, je bloque sur une question de mon exercice, mon exercice est le suivant :

1°) Déterminer un polynôme P du second degré tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x

=> Un polynôme est sous la forme ax²+bx+c=0.

On remplace :
[a(x+1)²+b(x+1)+c]-[ax²+bx+c] = x
<=> ax²+2ax+a+bx+b+x-ax²-bx-c = x
<=> 2ax+a+b = 0
<=> x(2a-1)+a+b = 0

2a-1 = 0 <=> a = 1/2
a+b = 0 <=> b = -(1/2)

Soit le polynôme est : (1/2)x²-(1/2) = 0

Je ne pense pas avoir de problème pour cette question.

2°) Utiliser P(1), P(2)...,P(n) pour trouver l'expression de la somme S=1+2+3+...+n.
Je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour celle-ci, merci d'avance pour votre aide !

Bonsoir,

Utilise la relation P(x+1)-P(x) = x
si x = 1 ; ....
si x = 2 ; ....
.....
si x = n; ....

Si x=1 ; P(2)-P(1)=1
si x=2 : P(3)-P(2)=2
si x=3 : P(4)-P(3)=3
si x=n : P(n+1)-P(n)= (1÷2)n² - (1÷2)n

Mais.. qu'est ce que je dois faire ensuite avec ça ?

Modifie le résultat pour x = n;

ensuite tu additionnes toutes les lignes.

Si x=n : P(n+1)-P(n) = n

C'est ça ?

Et donc :
P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + ... + P(n+1)-P(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n

Oui

Simplifie le terme de gauche pour trouver S.

Comment le simplifier ?

P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + ... + P(n+1)-P(n) =

n'y a t-il pas des termes écrit deux fois ?

Bonsoir ,

-P(1) + P(4) + P(n+1) - P(n)

Tu as oublié les ....
S'il était écrit en ligne, tu aurais :
P(2)-P(1) +
P(3)-P(2) +
P(4)-P(3) +
P(5)-P(4) +
....
P(n-2)-P(n-1) +
P(n+1)-P(n) =.....

Il ne restera donc que .. -P(1) -P(n)

Non,

c'est P(n+1) - P(1)