Trigonométrie : équation sinus


  • I

    Bonjour,

    Je poste là mon premier message sur ce forum 🙂

    J'aimerais être éclairé à propos d'une partie d'un devoir maison que je ne suis pas sûr d'avoir réussie.
    L'énoncé demande de résoudre l'équation : sin(2x) = cos(4x-Pi/6). A la résolution de l'équation, je pense avoir correctement répondu en transformant le cosinus en un sinus à l'aide de l'égalité suivant : cos(x) = sin(Pi/2 - x). J'ai trouvé comme solutions Pi/9 modulo Pi/3 et -Pi/6 modulo Pi que j'ai placé sur le cercle trigonométrique (cela me fait en tout 8 points à placer).
    Ma difficulté réside dans la question suivante car on me demande de donner les solutions qui sont dans l'intervalle [0;2Pi] : je ne comprends pas l'objet de cette question puisque d'après ce que je sais, si j'ai pu placer mes points solutions sur le cercle, c'est qu'ils sont compris sur l'intervalle [0;2Pi]. Ainsi, -Pi/6 n'est pas pas inclus dans l'intervalle mais 11Pi/6 lui l'est et ces deux angles correspondent au même point sur le cercle... Aidez-moi svp


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    Tu es troublé mais tu décris pourtant très bien la situation.

    L'équation a une infinité de solution réelles mais seuls quelques points peuvent être représentés sur le cercle.

    Si tu veux donne la résolution de ton équation et je pourrai t'en dire plus.


  • I

    J'ai trouvé x=Pi/9 + kPi/3 ou x=-Pi/6+kPi.
    D'où les points Pi/9, 4Pi/9, 7Pi/9, 10Pi/9, 13Pi/9, 16Pi/9 et -Pi/6, 5Pi/6.
    Pour la réponse où l'on me demande de donner les solutions dans [0;2Pi], je compte donner ces valeurs excepté -Pi/6 qui est négatif que je transforme en 11Pi/6. Ai-je raison ?


  • Thierry
    Modérateurs

    x=Pi/9 + k*Pi/3 avec k∈mathbbZmathbb{Z}mathbbZ (je n'ai pas vérifié ta résolution).

    Il faut que tu remplaces k par différentes valeurs entières positives et négatives. Tu ne prends en compte que les solutions entre 0 et 2π.

    Sinon oui tu as raison d'éliminer -π/6 et de garder 11π/6 à la place.


  • I

    Je n'arrivé pas à trouver la mesure principale. Quelque chose doit clocher dans mon calcul. Je te présent mon calcul de la mesure principale de 13Pi/9 par exemple :

    -Pi < 13Pi/9 + kPi/3 < Pi
    -1 < 13/9 + k/3 < 1
    -22/3 < k < -4/3 d'où k = -2

    Je remplace : 13Pi/9 - 2Pi/3 = 7Pi/9, ce qui n'est pas le cas.


  • Thierry
    Modérateurs

    La mesure principale est celle qui est comprise entre -π et π.

    Comme on te demande les solutions entre 0 et 2π, il ne faut pas que tu cherches la mesure principale.


  • I

    On me demande de chercher la mesure principale dans la question qui suit, c'est pour cela que je te demande de l'aide. Peux-tu m'aider à trouver la valeur principale par le calcul que je t'ai exposé (j'ai trouvé la valeur principale en retranchant 2Pi aux valeurs dans l'intervalle [0;2Pi] mais cette méthode me semble hasardeuse...).


  • Thierry
    Modérateurs

    Les mesures que tu as entre 0 et π sont déjà les mesures principales.

    Celles entre π et 2π, il faut faire exactement ce que tu as déjà fait : retrancher 2π.


  • I

    Très bien, mais j'aurais aimé comprendre la méthode que nous a donné notre professeur, c'est-à-dire celle que je t'ai montrée :

    -Pi < 13Pi/9 + kPi/3 < Pi
    -1 < 13/9 + k/3 < 1
    -22/3 < k < -4/3 d'où k = -2

    Je remplace : 13Pi/9 - 2Pi/3 = 7Pi/9, ce qui n'est pas le cas.

    Pourriez-vous me corriger stp ?


  • Thierry
    Modérateurs

    iZi-i

    -Pi < 13Pi/9 + kPi/3 < Pi
    -1 < 13/9 + k/3 < 1
    -22/3 < k < -4/3

    Ca c'est bon mais k=-2 ou k=-3
    Cela fait 2 valeurs possibles.
    7π/9 est bien une mesure principale.


  • I

    Le soucis est que sur le cercle, ça ne coïncide pas. Ils ne sont pas sur le même arc de cercle.


  • Thierry
    Modérateurs

    Qu'est-ce-qui ne correspond pas ? Tu t'étonnes que les 2 valeurs possibles ne soient pas identiques ?


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