Etudier la dérivabilité, calculer la dérivée et dresser le tableau de variation d'une fonction avec racine carrée

bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice.

soit f(x)=x racine carée de (x-x²)

1)montrer que f est dérivable sur ]0;1[ et calculer f'(x)

2)étudier le signe de f' et dresser le tableau de variations de f

déterminer lim quand h tend vers o de f(h)-f(0)/h-o
f est elle dérivable en 0? donner l'équation de la tangente à la courbe c au point d'abscisse o.
montrer que pour tout h de ]-1;0[:[f(1+h)-f(1)]/h = -(1+h)racine carrée de [-1-(1/h)]. f est elle dérivable en 1? donner l'équation de la tangente à c au point d'abscisse 1.
tracer la courbe

comment doit on faire pour montrer que f est dérivable sur ]0;1[

le racine caree est derivable sur son domainde de definition a l exeption du point ou il est null c est a dire que f est derivable sur ]0;1[.

ok, et à la question 3) l'équation de la tangente est bien y=0 ?

oui, puis ce que la limite demande donne 0
alors l'equation de la tengente est y=0

comment fait on pour la 4)

on f(1) = 0
alors on va simplifier f(h+1)/h=
[ (1+h)foi racine carre de [(1+h)-(1+h)^2] ]/h

on va faire entre h dans le racine, on h < 0 alors on va ajoute un - et ca deviendra:

-(1+h) * racine de [((h+1) - (h+1) ^2)/ h^2]

on simplifiant tu trouvera -(1+h) * racine de [-(h+1)/h]

cet ce qu on cherche

on fait rentrer le h du dénominateur dans la racine, mais on peu pas l'enlever du dénominateur comme ca

$\times \sqrt(1+h) - (1+h)^2 / h^2$

$\times \sqrt(1+h)(1-h-1) / h^2$

$\times \sqrt(1+h) \times -1 / h$

$\times \sqrt(-1-h) / h$

je ne comprend pas trop le calcul que tu m'a fais quand tu fais rentrer le h du dénominateur dans la racine. en plus il devient h² ???

puis ce que h est negatif alors on va ajoute un -

et pour le h qui va rentrer sa devient h² puis va simplifier avec (1-h-1)

c'est ok, j'ai trouvé merci. euh, par contre, comment on fait pour dire que f est dérivable en o (question 3) et en 1 (question 4)?

Bonjour,

Pour démontrer qu'une fonction est dérivable en $x_0$ , on utilise la définition.

On cherche la limite de ....... en ....

question 4) f est elle dérivable en 1? il faut faire limite de -1(1+h)Racine(-1-(1/h)) quand h tend vers 1 et trouver une limite finie??

j'ai essayé de faire la limite de -(1+h)racine(-1-(1/h)) quand h tend vers 1 mais c'est impossible car on a -2*racin(-2)?? elle n'est pas dérivable en 1 alors??

Bonjour sil2b,

Par définition, f est dérivable en $x_0$ ssi :

lim { $[f (x$ _0 $h)-f(x_0$ )]/h } existe et est finie
h→0

quand on utilise cette définition, h tend vers 0 et non pas vers $x_0$ .

Ici $x_0$ = 1 bien sûr et sers toi de l'égalité qui vient d'être démontrée.

Que ce soit dans ce post ou l'autre un peu du même genre, tu bloques sur le
cours de 1ère! Je ne peux que te conseiller de combler vite ces lacunes, revois la dérivabilité, les études de fonction, ...

ok, iron. je remplace h par 0 dans -(1+h)racine(-1-(1/h))

-(1+0)racine((-h-1)/h)=-racine(-1/0). 1/o est une forme semi indéterminer. la, h tend vers o+, la limite de -(1+h)racine(-1-(1/h)) est
-infini donc f n'est pas dérivable en 1. c'est plutot comme ca ?

En fait, ici h = x−1 et quand x tend vers $1^-$ alors h tend vers $0^-$

(h ne peut pas être strictement positif, l'intérieur de la racine serait négatif)

lim [f(1+h)-f(1)]/h = lim {-(1+h) √[-1-(1/h)] } = -∞
h → $0^-$

car c'est de la forme {-1 × √[-1-(-∞)]} soit {-1 × +∞}

f n'est donc pas dérivable en 1.

La tangente à Cf en 1 est donc . . .

Tu peux te référer à ce pdf de Zauctore

l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 est : y=0

Non,

La tangente au point de coordonnées (1;0) est verticale déquation x = 1

il y a bien 2 tangentes, une en 0 et une en 1. les 2 ont une équation : y=0 d'après les calculs??

Non, f n'est pas dérivable en 1. La tangente au point de coordonnées (1;0) est verticale d'équation x = 1

au final, je ne sais pas trop comment tracer les tangentes. il y en a bien 2?

Oui, il y en a 2

à l'origine O, la tangente est horizontale, elle correspond à l'axe de abscisse d'équation y=0

Au point de coordonnées (1;0), la tangente est verticale d'équation x = 1

Tu as trouvé la limite de [f(h)-f(0)]/(h-o) quand h tend vers 0 ?

Qu'as-tu répondu à la question 3) ? Est-elle dérivable en 0 ?

$fichier math$

Tu pourrais également tracer la tangente horizontale au point d'abscisse qui annule la dérivée (le sommet de la courbe)

bonjour
sauf erreur de calcul lorsqu'on élève au carré on trouve:
y²=x-x²
ce qui peut s'écrire
x²+y²-x=0
ou, encore
(x-1/2)² +y²=1/4
on peut reconnaître l'équation d'un cercle de centre(1/2,0) et de rayon 1/2.

bonne journée

question 3) lim f(h)-f(0)/(h-0) quand h tend vers 0 = 0. la limite est finie donc f dérivable en 0. tangente au point 0 : y=0

lim -(1+h) racine(-1-1/h) quand h tend vers 0 = -infini. la limite n'est pas finie donc f n'est pas dérivable en 1. tangente en 1 : y=0

bonjour
j'aimerais vous convaincre que les équations de tangentes que vous donnez sont fausses.
en réalité il s'agit de x=0 en 0 et de x=1 pour x=1

@+

comment sait on lorsqu'une tangente est horizontale, verticale.

La tangente est horizontale pour les points dont l'abscisse annule la dérivée : Pour ta fonction, f'(3/4) = 0, au point de coordonnées (3/4;f(3/4)) Cf admet une tangente horizontale.

Si la limite de $[f (x$ _0 $h)-f(x_0$ )]/h existe et est infinie quand h tend vers 0, on admet qu’il existe une tangente de pente infinie donc verticale, d’équation x = $x_0$

C’est le cas ici pour x = 1, la tangente au point de coordonnées (1;0) est verticale d’équation x = 1

Le taux de variation au voisinage de 0 tend vers 0. Vaccin suggère une tangente d’équation x = 0. Je lui fais confiance mais je n’ai pas compris.

bonsoir
la dérivée de √(x-x²) est (-2x+1)/2√(x-x²).
lorsque x tend vers o le numérateur vaut 1 et le dénominateur tend vers 0
le quotient tend vers l'infini d'où la tangente verticale.
lorsque x tend vers 1 le num vaut -1 et le dénom 0
etc...
c'est clair quand on a vu qu'il s'agit d'un demi-cercle.
bonne soirée

Bonsoir vaccin,

La fonction est : $\sqrt{x-x^{2}}$

Lorsque l'on calcule le taux de variation en 0, on obtient $x−x2\sqrt{x-x^{2}}$ il me semble. Sa limite quand x tend vers 0 est égale à 0, non ?

bonjour
mes excuses j'ai lu f(x)=√(x-x²)
je vais acheter des lunettes et revoir...
@+

Bonjour Vaccin,

Aucun souci. Il faut dire aussi que sans l’utilisation des caractères mathématiques, l’énoncé de sil2b n’est pas très clair.
Bonne journée et à +

bonjour, au final les tangentes sont horizontales, verticales?
d'autre part, comment fait on pour utiliser l'écriture latex?

Iron
Oui, il y en a 2

à l'origine O, la tangente est horizontale, elle correspond à l'axe de abscisse d'équation y=0

Au point de coordonnées (1;0), la tangente est verticale d'équation x = 1

Sous le cadre de saisie, il y a
Ajoute une formule mathématique - Editeur LaTeX

Sans aller jusqu'au latex, tu peux utiliser les boutons √ à conditions d'utiliser les () à bon escient.

http://www.mathcurve.com/courbes2d/piriforme/piriforme.shtml

si je copie bien et si le lien fonctionne comme prévu il y a ici le dessin d'une " quartique piriforme " qui ressemble bigrement à la moitié de la courbe proposée...

bonne journée

j'ai demandé à quelqu'un pour les tangentes, on m'a dit qu'elles sont toutes les 2 horizontales.??? or, d'après toi en o elle est horizontale et en 1 elle est verticale

vaccin

http://www.mathcurve.com/courbes2d/piriforme/piriforme.shtml

si je copie bien et si le lien fonctionne comme prévu il y a ici le dessin d'une " quartique piriforme " qui ressemble bigrement à la moitié de la courbe proposée...
Intéressant ce site et effectivement c'est tout à fait ça, une "quartique piriforme" avec a=b=1, une "larme".