Calculs de produits scalaires dans un cube


  • S

    Bonjour, j'ai du mal avec cet exo. j'aurais besoin d'un coup de main svp. merci

    ABCDEFGH est le cube d'arete 1 (ABCD face du bas et EFGH face du haut)
    L'espace est muni du repere orthonormal (A,AB,AD,AE)
    On designe par "a" un reel strictement positif.
    L,M et K sont les points definis par : (les segments sont des vecteurs)
    AL=aAD , AM=aAB , CK=aCG.

    1)a)calculer le produit scalaire EM.EL

    b)en deduire la valeur ,en fonction de a, de cos (MÊL).

    c)En deduire que sin (MÊL) = (a racine de (a²+2))/(1+a²)

    d)calculer l'aire du triangle ELM

    e)demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

    2)on note P le projete orthogonal de A sur le plan (ELM)
    a)demontrer que AM.AK=AP.AK

    b)les vrecteurs AP et AK etant colineaires ,on note alpha le reel tel que AP= (alpha)*AK
    Demontrer que alpha = a/(a²+2).
    En deduire que P appartient au segment [AK].

    c)determiner les coordonnees de P

    d)Exprimer PK en fonction de AK
    En deduire que PK=(a²-a+2)/racine de(a²+2)

    3)à l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre ELMK en fonction de a.


  • H

    Bonsoir,

    Joyeux noel

    1)a) EM.EL = (EA + AM).(EA + AL)
    = EA.EA + EA.AL + AM.EA + AM.AL
    = 1 + 0 + 0 + 0
    = 1

    b) EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)

    or en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAM rectangle en A on aura : EM2EM^2EM2 = EA2EA^2EA2 + AM2AM^2AM2 = 1 + a2a^2a2

    de meme en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAL rectangle en A on aura : EL2EL^2EL2 = EA2EA^2EA2 + AL2AL^2AL2 = 1 + a2a^2a2

    Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
    donc 1 = (1 + a2a^2a2)(1 + a2a^2a2).cos(MEL)

    Par suite cos(MEL) = 1/(1 + aaa^2)2)^2)2

    c) comme cos2cos^2cos2(MEL) + sin2sin^2sin2(MEL) = 1
    donc sin2sin^2sin2(MEL) = 1 - 1/(1 + aaa^2)2)^2)2 = (a4(a^4(a4 + 2a22a^22a2 + 1 - 1)/(1 + aaa^2)2)^2)2 = (a4(a^4(a4 + 2a22a^22a2)/(1 + aaa^2)2)^2)2

    alors sin(MEL) = rad [(a4[(a^4[(a4 + 2a22a^22a2)/(1 + aaa^2)2)^2)2] = a.rad[a2rad[a^2rad[a2 + 2] / (1 + a2a^2a2)

    d) l'aire du triangle ELM = produit vectoriel de EM avec EL = EM . EL .sin(MEL) = (1 + a2a^2a2).(1 + a2a^2a2). a.rad[a2rad[a^2rad[a2 + 2] / (1 + a2a^2a2) = a(1 + a2a^2a2).rad[a2rad[a^2rad[a2 + 2] unite d'aire

    e) Pour demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)
    il suffit de demontrer que la droite (AK) est orthogonale a (EM) et a (EL)

    en effet : AK.EM = (AC + CK).(EA + AM)
    = AC.EA + AC.AM + CK.EA + CK.AM
    = 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0

    donc (AK) est orthogonale a (EM)

    de meme AK.EL = (AC + CK).(EA + AL)
    = AC.EA + AC.AL + CK.EA + CK.AL
    = 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0

    donc (AK) est orthogonale a (EM)

    par suite la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

    2)a) AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK car (PM) est prthogonale a (AK) (par hypothese)

    b) On a AM.AK = AP.AK
    or AM.AK = AM.(AB + BG + GK)
    = AM.AB + AM.BG + AM.GK
    = a.1.1 + 0 + 0 = a

    comme AM.AK = AP.AK
    donc AP.AK = a
    alpha .(AK)2(AK)^2(AK)2 = a
    alpha = a / (AK)2(AK)^2(AK)2

    or AK2AK^2AK2 = AB2AB^2AB2 + BK2BK^2BK2

    avec BK2BK^2BK2 = a2a^2a2 + 1 (theoreme de Pythagore dans le triangle BCK rectangle en C)

    donc AK2AK^2AK2 = 1 + a2a^2a2 + 1
    = a2a^2a2 + 2

    d'ou alpha = a / (AK)2(AK)^2(AK)2
    = a /a2/a^2/a2 + 2

    comme 0 < a /a2/a^2/a2 + 2 < 1 et AP = (alpha) x AK

    donc P appartient au segment [AK].

    c) AP = alpha AK
    = alpha (AD + DC + CK)
    = alpha(AD + AB + a.AE)

    donc P(alpha ; alpha ; a.alpha) ou encore P(a / (a2(a^2(a2 + 2) ; a / (a2(a^2(a2 + 2) ; a2a^2a2 / (a2(a^2(a2 + 2))

    d) PK = PA + AK = -alpha AK + AK = (1 - alpha)AK (egalite vectorielle)

    donc PK = (1 - alpha)AK (egalite scaalaire en tant que segment)
    PK = (1 - a / (a2(a^2(a2 + 2)) . rad(a2rad(a^2rad(a2 + 2)
    = ((a2((a^2((a2 - a + 2) / (a2(a^2(a2 + 2)) . rad(a2rad(a^2rad(a2 + 2)
    = ((a2((a^2((a2 - a + 2).rad(a2rad(a^2rad(a2 + 2))

    1. Le volume du tétraèdre ELMK = aire du triangle (ELM) . PK
      = a(1 + a2a^2a2).rad[a2rad[a^2rad[a2 + 2].((a2((a^2((a2 - a + 2).rad(a2rad(a^2rad(a2 + 2)) unite de volume

    A bientot !!

    Joyeux noel


  • S

    merci beaucoup et joyeux noel également


  • Zorro

    Bonjour,

    En effet le papa Noel il a été gentil avec toi ,

    Pas le moindre début de commencement de recherche dans ton exercice , et le voilà résolu !

    T'as plus qu'à recopier en essayant de comprendre , car recopier sans piger, cela ne sert à rien !


  • E

    J'espere que tu n'as pas encore tout recopié, le 1.b) et tout ce qui en dépend est faux 😛 Papa Noël a été gentil, mais il ne s'est pas relu 😛

    EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
    EM2 = EA2 + AM2 = 1 + a2
    EL2 = EA2 + AL2 = 1 + a2

    Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
    donc 1 =
    √(1 + a2)
    √(1 + a2).cos(MEL)

    Par suite cos(MEL) =
    1/(1 + a2)


  • S

    au final qui a la bonne réponse?


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Il me semble que Ellri_ a raison.


  • E

    En fait, c'est dans un devoir du CNED ça non? 😄


  • E

    D'ailleurs, le volume V d'un tétraèdre s'écrit
    V=(hauteur.aire base)/3 🙂


  • S

    bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour reprendre cet exercice


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    Quelle question te pose problème ?


  • S

    Noemi
    Bonsoir,

    Quelle question te pose problème ?
    en fait je voudrais reprendre depuis le début parce que je n'ai pas compris grand chose.

    1)a) EM.EL = (EA + AM).(EA + AL)
    = EA.EA + EA.AL + AM.EA + AM.AL
    = 1 + 0 + 0 + 0
    = 1

    pourquoi les produits scalaires EA.AL; AM.EA et AM.AL sont ils égal à 0?


  • N
    Modérateurs

    Le produit scalaire de deux vecteurs est nul, si ses deux vecteurs sont orthogonaux.


  • S

    Noemi
    Le produit scalaire de deux vecteurs est nul, si ses deux vecteurs sont orthogonaux.

    ok.

    1)b) EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)

    or en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAM rectangle en A on aura : EM2 = EA2 + AM2 = 1 + a2

    de meme en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAL rectangle en A on aura : EL2 = EA2 + AL2 = 1 + a2

    Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
    donc 1 = (1 + a2)(1 + a2).cos(MEL)

    Par suite cos(MEL) = 1/(1 + a2)2

    en fait, cos(MÊL)=1/(1+a²) ? car 1=√(1+a²)*√(1+a²).cos(MÊL) ?


  • N
    Modérateurs

    Avec le théorème de Pythagore, tu as calculé EM² et EL².
    Et dans la formule du produit scalaire, tu as EM et EL, donc tu dois prendre la racine carrée.


  • S

    Noemi
    Avec le théorème de Pythagore, tu as calculé EM² et EL².
    Et dans la formule du produit scalaire, tu as EM et EL, donc tu dois prendre la racine carrée.
    1)b) oui. je ne comprend pas pourquoi les vecteurs AM² et AL² valent a² .?


  • N
    Modérateurs

    L'espace est muni du repère orthonormal ( A, vect AB, vect AD, vect AE)
    donc vect AB , vect AD et vect AE sont les vecteurs unitaires
    vect AB = vect i
    vect AD = vect j
    vect AE = vect k


  • S

    Noemi
    L'espace est muni du repère orthonormal ( A, vect AB, vect AD, vect AE)
    donc vect AB , vect AD et vect AE sont les vecteurs unitaires
    vect AB = vect i
    vect AD = vect j
    vect AE = vect k
    ok.

    1)d)comment fait on pour calculer l'air du triangle ELM ? je ne comprend pas la méthode de hitman


  • N
    Modérateurs

    L'aire du triangle EML : 1/2 produit vectoriel (vect EM, vect EL)
    = 1/2 EM EL sin (MEL)


  • S

    ok.
    2)a) comment faut il procéder?


  • N
    Modérateurs

    Utilise la relation de Chasles


  • S

    Noemi
    Utilise la relation de Chasles

    on part de: AM.AK=(AP+PK).AK ?


  • N
    Modérateurs

    AM = AP + PM
    AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK


  • S

    Noemi
    AM = AP + PM
    AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK

    PM.AK=0, Comment sait qu'ils sont orthogonaux?


  • N
    Modérateurs

    P est le projeté orthogonal du point A sur le plan ELM, donc tout vecteur du plan est orthogonal au vecteur AP.


  • S

    Noemi
    P est le projeté orthogonal du point A sur le plan ELM, donc tout vecteur du plan est orthogonal au vecteur AP.

    ok.

    alors AP et AK sont des vecteurs confondus comme (AP) orthogonal à (ELM) et (AK) orthogonale à (ELM)?


  • N
    Modérateurs

    C'est une hypothèse, les vecteurs AP et AK sont colinéaires.
    Vect AM (a; 0; 0) vect AK (1; 1; a)
    donc vect AM. vect AK = ..


  • S

    Noemi
    C'est une hypothèse, les vecteurs AP et AK sont colinéaires.
    Vect AM (a; 0; 0) vect AK (1; 1; a)
    donc vect AM. vect AK = ..
    ...=a ?


  • S

    2)b) est ce que je pourrais avoir quelques explications, merci


  • N
    Modérateurs

    oui
    vect AM.vect AK = a×1 + 0×a + 0×1 =


  • S

    j'ai repris la question 2)b),

    AP=λAK AM(a;0;0) AK(1;1;a)

    -AM.AK=AP.AK

    -AM.AK=a

    -donc AP.AK=a

    -comme AP=λAk alors :
    AM.AK=AP.AK
    =λAK.AK
    =λAK²

    -λAK²=a
    λ=a/AK²
    λ=a/(1+1+a)²
    λ=a/2+a²

    c'est correcte ?? (surtout la fin ?)


  • N
    Modérateurs

    Une erreur à la fin :
    λAK²=a
    λ=a/AK²
    λ=a/(1+1+a²)
    λ=a/(2+a²)


  • S

    Noemi
    Une erreur à la fin :
    λAK²=a
    λ=a/AK²
    λ=a/(1+1+a²)
    λ=a/(2+a²)
    a oui j'ai oublié de mettre la parenthèse.
    sinon, comment fait on pour montrer que p appartient au segment [AK] ?


  • N
    Modérateurs

    Tu démontres que a/(a²+2) < 1


  • S

    d'accord. mais pk il faut montrer que c'est inférieur à 1 ?


  • N
    Modérateurs

    Tu as
    AP = λ AK
    Si λ compris entre 0 et 1 (exemple AP = 0,8 AK) , AP est plus petit que AK, donc P compris entre A et K
    Si λ >1 ( exemple AP = 2 AK), AP plus grand que AK, donc P n'appartient pas à [AK]


  • S

    sil2b
    d'accord. mais pk il faut montrer que c'est inférieur à 1 ?
    ok.

    a>0
    a²+2>0
    a²+2>a

    donc a/(a²+2)<1 ?


  • N
    Modérateurs

    La question est en déduire que P appartient au segment [AK]
    Tu sais que les vecteurs AP et AK sont colinéaires, et comme a/(a²+2) > 0, donc les points A, P et K sont sur une même demi-droite
    Si le point P est compris entre A et K alors la distance AP < distance AK
    soit AP/AK < 1.


  • S

    Noemi
    La question est en déduire que P appartient au segment [AK]
    Tu sais que les vecteurs AP et AK sont colinéaires, et comme a/(a²+2) > 0, donc les points A, P et K sont sur une même demi-droite
    Si le point P est compris entre A et K alors la distance AP < distance AK
    soit AP/AK < 1.ya pas une possibilité de montrer ça par des encadrements ?


  • N
    Modérateurs

    Que veux tu dire ?
    Si c'est montrer que : 0 < a /(a2/(a^2/(a2 + 2) < 1 alors oui


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