Etude de la fonction représentant la fréquence de vibration d'une corde

Bonjour ;

Bonne année

J'ai un exercice a faire pendant ces vacances , ca fait pas mal de temps que je travaille dessus et je n'y suis toujours pas arrivée(pour quelques questions)

Voila l'énoncé :

La fréquence de vibration f (en hertz) d'une corde tendue dépend de sa longueur (en mètres) et de sa tension T (en newton).
Pour une corde de violon ( de longueur utile 33 cm) , la fréquence émise est donnée par la formule:

$f=50Tf=50\sqrt{T}$

On considère la fonction $T→50TT\rightarrow 50\sqrt{T}$ définie sur l'intervalle $[0;+∞[[0;+\infty [$ .

a) Afficher à l'écran de la calculatrice la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [0;100].

b) Conjecturer le sens de variation de cette fonction sur $[0;+∞[[0;+\infty [$

c) u et v désignent deux réels positifs tels que: $u≤vu\leq v$

Vérifier que : $u−v=u−vu+v\sqrt{u}-\sqrt{v} = \frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}$

Démontrer alors la conjecture émise au b).

d) Déterminer la tension de cette corde pour qu'elle donne le $la_{3}$ de fréquence 435 Hz , d'abord avec la calculatrice , ensuite par le calcul.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

Merci d'avance.

J'ai déjà fait le d) que je trouvais assez simple.

Voila ma réponse:

$f=50Tf=50\sqrt{T}$

$T=F50\sqrt{T}=\frac{F}{50}$

$T=(F50)2T=\left( \frac{F}{50}\right)^{2}$

$T=43550=8.7\sqrt{T}=\frac{435}{50}=8.7$

$T=(43550)2T=\left( \frac{435}{50}\right)^{2}$

T=75.69

Est ce que c'est juste ?

Bonjour,

Quelle conjecture as tu indiquée pour le sens de variation ?

La question d) est à résoudre à l'aide de la calculatrice puis par le calcul.

Soit f une fonction définit sur l'intervalle I $[0;+∞[[0;+\infty [$

D'après le graphique sur la calculatrice nous dirons que f est croissante

(mais je ne sais pas quelle justification je dois mettre)

Et pour la d) je ne sais pas comment la résoudre à l'aide de la calculatrice mais par le calcul je pense que j'y suis arrivée .

On demande juste de conjecturer en utilisant le graphe sur la calculatrice.

Vérifie ta conjecture à partir de la question c)

Mais mon problème est que je n'arrive pas a repondre a la question c).

Voila ce que je trouvée:

Montrer que $u−v=u−vu+v\sqrt{u}-\sqrt{v}=\frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}$ revient a montrer que $u−v=(u−v)×(u+v)u-v=(\sqrt{u}-\sqrt{v})\times (\sqrt{u}+\sqrt{v})$

or vu que $u=(u)2etv=(v)2u=(\sqrt{u})^{2} et v=(\sqrt{v})^{2}$

on peut donc utiliser une identité remarquable c'est a dire :

$u2−v2\sqrt{u}^{2}-\sqrt{v}^{2}$

Ensuite il faut comparer $u\sqrt{u}$ et $v\sqrt{v}$

autrement dit comparer $u−vetu2−v2\sqrt{u}-\sqrt{v} et \sqrt{u}^{2}-\sqrt{v}^{2}$

Bonjour,

En supposant v ≥u> 0
comparer √u - √v revient à comparer u - v
donc si u ≤ v alors f(u) .... f(v) et ....

Bonjour;

Je n'ai pas trés bien compri votre explication mais voila ce que je viens de trouver :

Comme on sait que $u≤vu\leq v$ ; on sait aussi que $u−v≤0u-v\leq 0$ (comparer 2 nombres revient a donner le signe de leur différence :
$a≤ba\leq b$ revient à dire que $a−b≤0a-b\leq 0$ )

mais apres je n'y arrive pas.

Je ne suis pas tres sure de ce que je viens de trouver.

Pouvez vous me corriger s'il vous plait ?

Tu dois démontrer que la fonction est décroissante.
Cela veut dire que si T1 < T2 alors f(T1) > ou > f(T2) ?

alors $f(T1)≥f(T2)f(T1)\geq f(T2)$

Oui
Et pour une fonction croissante ?

Indique la démonstration.

Démonstration d'une fonction croissante:

Soit la fonction f définie sur l'intervalle $[0;+∞[[0;+\infty [$ par $50\sqrt{T}$ .

Nous pouvons voir que la fonction est toujours croissante car une fréquence est toujours positive; elle ne peut pas être négative!

Est ce que c'est ça que vous me demandiez ?
et est ce que c'est juste ?

Non,

Si les valeur de f(x) sont toujours positive, cela ne signifie pas que la fonction est croissante.
Si T1 < T2 alors f(T1) < ou > f(T2) ?

alors $f(T1)≤f(T2)f(T1)\leq f(T2)$

Ah oui je n'avais pas pensé a ça ; la courbe peut toujours varier dans la partie positive.
Donc c'est bien ça je ne vois vraiment pas comment le démontrer.

Tu appliques la propriété que l'on vient de rappeler.
C'est à dire à partir de T1 < T2, compare f(T1) avec f(T2).

Bonjour;

Je n'ai pas trés bien compri ce que vous me demander de faire pour comparer f(T1) et f(T2).

et pour ce que j'ai trouvé pour la b) est ce que c'est juste?

être une fonction croissante n'a rien à voir avec être une fonction positive...
il te faut revoir la définition d'une fonction croissante

euh oui je m'en étais aperçue de ma confusion et donc pour dire que la

fonction est croissante je dois dire que pour tout x dans un intervalle I varient

dans le meme sens (si x augmente f(x) augmente aussi et si x diminue f(x)

diminue aussi )

est ce que c'est ça ?

Oui applique cette propriété.

ah je crois avoir trouver:

Soit f la fonction définie $f(x)=50xf(x)=50\sqrt{x}$

Démontrons que f est croissante.

Soit x et y deux réels quelconques,

Supposons que $x≤yx\leq y$

Démontrons que $f(x)≤f(y)f(x)\leq f(y)$

$x≤y⇒x≤y⇒50x≤50y⇒f(x)≤f(y)x\leq y \Rightarrow \sqrt{x}\leq \sqrt{y} \Rightarrow 50\sqrt{x}\leq 50\sqrt{y}\Rightarrow f(x)\leq f(y)$

On en déduit que f est croissante sur $mathbb{R}$

est ce que c'est ça ?

Oui en prenant en compte le résultat de la question c) et en notant que x et y sont des réels positifs.

ah oui j'avais oublié ces petites informations mais pour la c) je n'y arrive toujours pas (à une certaine étape du raisonnement)

Mon raisonnement est un peu plus haut.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance .

on se demande pourquoi l'auteur de l'exercice prend la peine d'écrire à la question c. ... Démontrer alors la conjecture émise au b) si c'est pour ne pas se servir de ce qu'il y a écrit juste avant ?!?

mais la question c) c'est :

c) u et v désignent deus réels tels que : $u≤vu\leq v$

Vérifier que $u−v=u−vu+vu-v=\frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}$

Démontrer la conjecture émise au b) c'est la suite du c)

pffff en changeant de lettres x et y à la place de u et v
et en n'utilisant pas √u-√v=...

sans vouloir te vexer il faudra que tu m'expliques pourquoi tu peux écrire que 0≤x≤y ⇒ √x≤√y ?

j'ai pas compri le rapport entre que vous venez d'écrire et mon exo !!

et je ne sais meme pas de quelle qestion vous parlez !!

ciboulette
j'ai pas compri le rapport entre que vous venez d'écrire et mon exo !!
et je ne sais meme pas de quelle qestion vous parlez !!

pourtant ce n'est pas moi qui ait écrit
0≤x≤y⇒√x≤√y
pour répondre à la question c. mais toi !!!

"pffff en changeant de lettres..."

on aurait tres bien pu s'en passer de ce Pfff

en plus il suffit de remplacer les x et y par des u et des v et puis la je répondais a la question b) et Noemi me la deja corrigée elle ma signalée mes erreurs.

Bref.

Est ce que quelqu'un pourrait me corriger la c) s'il vous plait?

La question c) consiste à

Vérifier une relation.
Démontrer une conjecture

Reformule la réponse.

Je remet ma réponse :

Montrer que $u−v=u−vu+v\sqrt{u}-\sqrt{v}=\frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}$

revient à montrer que $u-v=(\sqrt{u}-\sqrt{v})\times (\sqrt{u}+\sqrt{v}) \$ or vu que $u=(u)2u=(\sqrt{u})^{2}$ et $v=(v)2v=(\sqrt{v})^{2}$ on

peut donc utiliser une identité remarquable c'est a dire : $u2−v2\sqrt{u}^{2}-\sqrt{v}^{2}$ .

Ensuite il faut comparer $u\sqrt{u}$ et $v\sqrt{v}$ autrement dit

comparer $u−v\sqrt{u}-\sqrt{v}$ et $u2−v2\sqrt{u}^{2}-\sqrt{v}^{2}$ .

Comme on sait que $u≤vu\leq v$ ; on sait aussi que $u−v≤0u-v\leq 0$ .

Mais apres je n'y arrive pas.

Je ne suis pas tres sure de ce que je viens de trouver.

Pouvez vous me corriger s'il vous plait ?

ciboulette
"pffff en changeant de lettres..."
on aurait tres bien pu s'en passer de ce Pfff
en plus il suffit de remplacer les x et y par des u et des v et puis la je répondais a la question b) et Noemi me la deja corrigée elle ma signalée mes erreurs.
Bref.

Non Noémie te répondais sur la justification des variations donc la question c !

A la question b., pour conjecturer les variations de la fonction f, il suffit de regarder la courbe représentative de la fonction affichée par l'écran de ta calculatrice au a. et de dire :
Graphiquement, je conjecture "la fonction f est ... sur R+"

Maintenant la question c...

euh oui oui je me suis aperçue plus tard que dans ma réponse j'avais mis question b) et non question c).

Mais en fait la question c) est composée de 2 question et là je viens de répondre à la première question duc) (voir un peu plus haut )

il faut que tu écrives un peu mieux ta réponse...
disons que ce que tu dis est un brouillon pour avoir de bonnes idées

oui je rédigerais plus tard sur ma feuille au propre car pour le moment comme vous dites c'est juste pour avoir des idées.

mais comme vous pouvez le voir je bloque a une étape .

Pouvez vous m'aider,me donner des indices s'il vous plait pour la suite ?

tu peux commencer par écrire :
soit u, v des réels tels que 0≤u
<v, on a :
u-v=(√u)²-(√v)²=...
Or √u+√v≠... donc √u-√v=.../...
d'ailleurs tu corrigeras l'énoncé car avec seulement
0≤u≤v, le résultat est faux !

que faut-il écrire pour dire que f est croissante ?
le début

blabla de la démo

la conclusion

ah donc en fait tout ce que j'ai trouvé auparavant c'est faux ou c'est la suite ?

ciboulette
ah donc en fait tout ce que j'ai trouvé auparavant c'est faux ou c'est la suite ?

lis ce que j'écris et réfléchis avant de pousser des hauts cris !