Etudier les variations, les limites et les tangentes d'une fonction exponentielle et donner un tracé

bonjour, j'aurais besoin d'un coup de main sur cet exo, merci.

On se propose d’étudier la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=(x + $1)e^{-1/x}$ .
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (0;i;j) .

1 Étude des variations de f

a)Déterminer la fonction dérivée f.
b)Étudier le sens de variation de f.
c)Étudier la limite de f en +∞.

2 Étude d’une fonction auxiliaire
φ est la fonction définie sur [0;+∞[ par: φ $u)=1-(1+u)e^{-u}$ .
a)Déterminer la dérivée de φ.
b)Démontrer que pour tout u≥0; 0≤φ'(u)≤u.
c)Étudier le sens de variation de la fonction u→φ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[ .
d)En déduire que pour tout u≥0, 0≤φ(u)≤u²/2 (1).

3 Étude de f en +∞.

a)À l’aide de (1), démontrer que pour tout x>0, 0≤x-f(x)≤1/2x.
b) En déduire que C admet une asymptote Δ en +∞.
Préciser la position de C par rapport à Δ.

4 Étude de la tangente $T_a$ à C en un point d'abscisse a

a)Déterminer une équation de $T_a$ .
b)Démontrer que $T_a$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse
a/(1+a+a²).

5 Tracé de C

Traer C, Δ et la tangente à C au point d'abscisse 1/3.

je trouve f'(x)= $e^{-1/x}$ + (x+1)/x² * $e^{-1/x}$

Bonjour,

1 b) Factorise la dérivée, puis tu étudies son signe et tu construis le tableau de variation.
c) $e^0$ = 1, donc lim ....

Noemi
Bonjour,

1 b) Factorise la dérivée, puis tu étudies son signe et tu construis le tableau de variation.
c) $e^0$ = 1, donc lim ....

f' $x)=e^{-1/x}$ [(x²+x+1)/x²]

soit x²+x+1=0
Δ=-3 donc f'(x) n'admet aucunes solution sur ]0;+∞[
f'(x) est croissante sur ]0;+∞[

tableau de variation:

x |0 +∞ |
f' || + |
f || croissante |

2)a) φ'(u)=ue(-u) ?

La dérivée est juste.

Cherche un encadrement de $e^{-u}$ pour u appartenant à [0;+∞[.

Noemi
La dérivée est juste.

Cherche un encadrement de $e^{-u}$ pour u appartenant à [0;+∞[.u≥0 donc -u≤0, $e^{-u}$ ≤u; $e^{-u}$ ≥0
$ue^{-u}$ ≥0

je sais pas trop comment faire pour encadrer la dérivée.

u≥0
-u≤0
0≤ $e^{-u}$ ≤1

0≤ $ue^{-u}$ ≤1*u

c'est ok comme ca?

Je n'ai pas vu l'exo juste l'encadrement, tu y es presque :

u ≥ 0

-u ≤ 0

$e^{-u}$ ≤ $e^0$ car la fonction x → $e^x$ est strict croissante sur $mathbb{R}$

$e^{-u}$ ≤ 1

De plus $e^x$ > 0 pour tout x réel, donc

0 < $e^{-u}$ ≤ 1

d'où

0 < $ue^{-u}$ ≤ u

ok. pour 2)c) j'ai calculé la fonction u mais je ne sais pas trop comment la factoriser pour quelle soit le mieux possible à étudier

Bonjour,
Pour la question 2c, utilise le résultat de la question 2b.
calcule la dérivée et cherche son signe.

dérivée de la fonction u: je trouve $ue^{-u}$ -u
donc $u(e^{-u}$ -1) ?

u→φ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[
Soit h(u) = φ(u)-(u²/2)
calcule h'(u)
puis étudie son signe en utilisant : 0≤φ'(u)≤u.

Noemi
u→φ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[
Soit h(u) = φ(u)-(u²/2)
calcule h'(u)
puis étudie son signe en utilisant : 0≤φ'(u)≤u.

h' $u)=ue^{-u}$ -u
h' $u)=u(e^{-u}$ -1)

c'est correcte?

C'est correct.
Tu peux l'écrire sous la forme φ'(u) - u
et comme 0≤φ'(u)≤u.
.... ≤ φ'(u) - u ≤ .....

Noemi
C'est correct.
Tu peux l'écrire sous la forme φ'(u) - u
et comme 0≤φ'(u)≤u.
.... ≤ φ'(u) - u ≤ .....

-u≤ φ'(u) - u ≤0 ?

Oui,

Tu en déduis donc que la fonction est ...
Indique ensuite le domaine de variation de la fonction.

Noemi
Oui,

Tu en déduis donc que la fonction est ...
Indique ensuite le domaine de variation de la fonction.

la fonction h(u) est décroissante

u | 0 +∞ |
h' | - |
h | décroissante |

Oui

Et la fonction décroit de ...... à ......
donc φ(u)-(u²/2) ≤ …………

Noemi
Oui

Et la fonction décroit de ...... à ......
donc φ(u)-(u²/2) ≤ …………

la fonction décroit de 0 à -∞

donc φ(u)-(u²/2) ≤0

C'est juste.

toujours pour 2)d) φ(u)≥0 car φ'(u) ≥0 ?

Non,

C'est parce que la fonction décroit de 0 à -∞, donc négative ou nulle que
φ(u)-(u²/2) ≤ 0

3)a) on peut remplacer x par 1/u ?

Oui, ou u = 1/x, avec x > 0

Noemi
Oui, ou u = 1/x, avec x > 0

ok. j'ai trouvé.

3)b) on calcule directement la limite à partir de f(x) ?

Tu calcules la limite de x - f(x).

Noemi
Tu calcules la limite de x - f(x).

$x-f(x)=x-(x+1)e^{-1/x}$ x→+∞; -(x+1)→-∞; $e^{-1/x}$ →0
c'est une forme indéterminé. quelle modification on peut faire?

ah, il faut s'aider de 3)a)

Oui,

La question est : en déduire, donc.

Noemi
Oui,

La question est : en déduire, donc.

il faut calculer la limite en +∞ de x*φ(u)?

c'est ce que j'ai trouvé quand j'ai remplacé x par 1/u car 1/uφ(u)=xφ(u) ?

Question 3 a)
Tu as montré que 0≤x-f(x)≤1/2x
donc si x tend vers +∞ ; 1/2x tend vers .....
et x - f(x) ...

Noemi
Question 3 a)
Tu as montré que 0≤x-f(x)≤1/2x
donc si x tend vers +∞ ; 1/2x tend vers .....
et x - f(x) ...

1/2x tends vers 0.

x-f(x)≥0 donc f(x)≤x
f est en dessous de l'asymptote(y=x) ?

Oui

C'est correct. N'oublie pas de noter que lim x - f(x) tend vers 0+ si x tend vers +∞.

Noemi
Oui

C'est correct. N'oublie pas de noter que lim x - f(x) tend vers 0+ si x tend vers +∞.

x-f(x)=x-(x+1)e-1/x

si x→+∞

x→+∞;
-(x+1)→-∞;
e-1/x→0

c'est une forme indéterminée. on factorise comment après?

Pour la limite, tu utilises :
0≤x-f(x)≤1/2x
Si x tend vers + ∞ ; 1/2x tend vers ....
donc x- f(x) tend vers ...

Noemi
Pour la limite, tu utilises :
0≤x-f(x)≤1/2x
Si x tend vers + ∞ ; 1/2x tend vers ....
donc x- f(x) tend vers ...

oui mais je n'arrive pas à comprendre que lim x-f(x)=0+

0≤x-f(x)≤1/2x
Si x tend vers + ∞ ; 1/2x tend vers 0+
donc 0 ≤ x- f(x) ≤ 0+
donc x - f(x) tend vers 0+

Noemi
0≤x-f(x)≤1/2x
Si x tend vers + ∞ ; 1/2x tend vers 0+
donc 0 ≤ x- f(x) ≤ 0+
donc x - f(x) tend vers 0+
ok.

4)a)pour la tangente: y=f'(a)(x-a)+f(a)

pour trouver f'(a) et f(a) on remplace directement dans f(x)?

Oui,

Utilise f(x) et f'(x) pour écrire f(a) et f'(a)