Equation (symétrique, réciproque) du 4e degré

[pathi]

EXERCICE:
On veut résoudre l'équation (E): $2x^4$-9x^3 +14x^2 -9x+2=0

a) vérifier que 0 n'est pas solution de l'équation et établir que l'équation (E) équivaut à l'équation (E1) : 2(x^2 +1/x^2 )-9(x+1/x)+14=0 .
b) On pose u=x+1/x. Calculer u^2 .
Etablir que l'équation (E1) équivaut à : u=x+1/x et 2u^2 -9u+10=0
c) Résoudre dans R l'équation 2u^2 -9u+10=0.
En déduire les solutions de l'équation (E).

LES REPONSES QUE J'AI TROUVEE :
a) je vérifie que 0 n'est po une solution à établir:
E: 0+0+0-0+2=0 donc 0 n'est pas solution!!
j'établie que E est équivaut à E1 :===> pour cela je devellope E1
2x^2 +2/x^2 -9x-9/x+14=0
(2x4+2)/x^2 -(9x^2-9)/x+14=0== > JE SUIS loin de prouver que E est équivaut a E1!

b) u^2 = (x+1/x)^2
=x^2 +2x/x+(1/x^2 )
=x^2 +2+1/x^2 ====> pour la suite de la question je suis bloquée!

c) u(2u-9)+10=0 ===>

AIDEZ MOI A FINIR CET EXERCISE S'IL VOUS PLAIT!!!

[Zauctore]

Salut.
Il y a déjà eu plusieurs topics quasi-identiques à ce sujet.
Commence par jeter un oeil à ce lien.

[pathi]

et pour la suite ????????? je fait quoi???? donc pour la kestion a) j'ai trouvé!!!!!!!!!

[Zauctore]

Pour b), il n'y a qu'à... calculer !
u², ça doit aller, non ?

[pathi]

Zauctore
Pour b), il n'y a qu'à... calculer !
u², ça doit aller, non ?

oui pour la b) ca va!! c'est 2(u^2 -2)-9u+14=0

donc pour la c) j'utilise la méthode pour résoudrre une équation du second degré???? (delta)=-(-9)^2 +4210
=81-80
=1
donc (delta) > 0
ALOrs l'équation admet 2 solutions==> x1=(9- $sqrt$1)/2*2
x1 =(9- $sqrt$1)/4

et x2=(9+ $sqrt$1)/4
DONC les solutions de E sont x1 et x2!!! AI-JE RAISON?????????????

[Zauctore]

voyons : du calme, pathi !

ta "formule" pour delta est fausse, mais le résultat est juste.

tu ne vas quand même pas trimbaler des $sqrt$1 longtemps, j'espère.

[pathi]

Zauctore
voyons : du calme, pathi !

ta "formule" pour delta est fausse, mais le résultat est juste.

tu ne vas quand même pas trimbaler des $sqrt$1 longtemps, j'espère.

enffet la formule est bien===>
(delta)= b^2 +4ac oui c 'est vrai que je me suis trompée!
mais je ne peut pas simplifier!! enfin toute facon je ne peut pas faire mieu!!!
x1= 9/4- $sqrt$1/4 x2= 9/4+ $sqrt$1/4

[Zauctore]

Attention : (delta) = b² - 4ac avec un signe "moins" !

Simplifie avec $sqrt$1 = 1, n'est-ce pas...

[Zauctore]

Avec tes racines 2 et 2,5 (pour 2u² - 9u + 10), arrives-tu à en déduire les solutions de l'équation initiale (E) ?

[pathi]

oui je suis d'accord avec la formule ( je suis bete !!!!)

x1= 9/4-1/2 x2=9/4+1/2

je n'en sais rien si je peu ou pas!!!==> j'en ai marre-(

Voila je croi ke j'ai enfin terminée!!! merci de m'avoir aidé Eulérien et les autres!!!!!!!!! :

[Zauctore]

On reprendra quand tu te seras remise de tes efforts !
x1= (9 - 1)/4 = 2
x2=(9 + 1)/4 = 2,5.

[pathi]

Zauctore
On reprendra quand tu te seras remise de tes efforts !
x1= (9 - 1)/4 = 2
x2=(9 + 1)/4 = 2,5.

je suis d'accord que x1=2 et x2=2.5 mais quelle est le rapport avec E??ENFIN JE PAUT DIRE QUR CEUX SONT LES SOLUTIONS DE L'EQUATION E MAIS SANS SAVOIR LE JUSTIFIER!!

[Zauctore]

Bon alors, on finit maintenant.

On a vu successivement que l'équation (E)
$2x^4$ - $9x^3$ + $14x^2$ - 9x + 2 = 0

est équivalente à l'équation $(E_1$ )
2(x² + 1/x²) - 9(x + 1/x) + 14 =0

elle-même équivalente à $(E_2$ )
2u² - 9u + 10 = 0
à condition de poser u = x + 1/x.

L'équation $(E_2$) a pour solutions
u ${}_1$ = 2 ou $u_2$ = 2,5
ce qui se traduit alors par
x + 1/x = 2 ou x + 1/x = 2,5.

C'est ce qui permettra de récupérer les solutions de (E).
Je te laisse réfléchir à la façon de procéder.

[pathi]

je sai que l'équation E est équivaut a E1 donc ils ont les memes solutions!!! a part je ne peut rien dire !!! donc les solutions de E sont 2.5 et 2!!!

[pathi]

pathi
je sai que l'équation E est équivaut a E1 donc ils ont les memes solutions!!! a part je ne peut rien dire !!! donc les solutions de E sont 2.5 et 2!!!

a ouiiiiiiiii donc x=2-1/x ou x= 2+1/x

x=(2x-1)/x ou x=2x+1)/x
je sen que je fais n'importe quoi!!!!!

[Zauctore]

Puisque x diff/ 0, on a x + 1/x = 2 equiv/ x² - 2x + 1 = 0.
Cette équation donnera (une ou) deux solutions pour (E).

De même avec x + 1/x = 2,5.

@+

[Zauctore]

Pour finir...
x + 1/x = 2,5 equiv/ x² - 2,5x + 1 = 0
d'où x = 2 ou 0,5.

On peut au final en déduire en passant que le polynôme de degré 4 du départ (dans (E)) peut s'écrire
2 (x - $1{)}^2$ (x - 2) (x - 0,5).

[pathi]

ouI je suis tte a fait d'accord avec enfin plutot avec la méthode pour trouver!!! mais franchement cette exercice est haut dela de mes capacité en maths!!! Donc merci de m'avoir aidé!!!

[Zauctore]

"Haut dela", hum...
t'as choisi S ; assume et mets-toi au niveau !

essaie de ré-appliquer la méthode pour

(I) $x^4$ + $10x^3$ + $26x^2$ + 10x + 1 = 0 ;

(II) $2x^4$ - $9x^3$ + $8x^2$ - 9x + 2 = 0.

@+

[pathi]

pour faire le I et II ===> j'ai suivit la meme méthode mais je voit pas!! je suis désolé! ( g essayé et pas réussi)

[Zauctore]

exercice
(I) $x^4$ + 10 $x^3$ + 26 $x^2$ + 10 x + 1 = 0 ;

-On montre sans difficulté que 0 n'est pas solution.

-On peut donc tout diviser par x², ce qui donne
(I) equiv/ $x^2$ + 10 x + 26 + 10/x + $1/x^2$ = 0
equiv/ (x² + 1/x²) + 10 (x + 1/x) + 26 = 0.

-On pose u = x + 1/x. Alors u² = x² + 1/x² - 2.
D'où (I) equiv/ u² + 10 x + 24 = 0. On résout en u.
Cette équation donne u = -4 ou -6.

-On remonte le changement de variable pour résoudre en x
a) x + 1/x = -4
equiv/ x² + 4x + 1 =0
equiv/ x = -2 - $sqrt$3 ou -2 + $sqrt$3.
b) x + 1/x = -6
equiv/ x² + 6x + 1 = 0
equiv/ x = -3 - 2$sqrt$2 ou -3 + 2$sqrt$2.

On a obtenu les quatre solutions de cette équation symétrique du 4e degré.

A toi pour (II) !

[Zauctore]

Je te donne les solutions de (II)
x = 2 - $sqrt$3 ou 2 + $sqrt$3
Il n'y a que deux solutions ici !

[pathi]

enfin j'arrive a trouver les solutions sans me casser la tete!!!
Exemple II: 2x4-9x ^3+8x^2-9x+2=0
a) 0+0+0+2=0==> donc 0n'est pas solution
2x^2 -9x+8-9/x+2/x^2
equiv/ 2(x^2 +1/x^2 )-9(x-1/x)+8

b)on pose u=x+1/x. ===> u^2 =x^2 +1/x^2 +2
2(u^2 -2)-9u+8=0 ===> 2u^2 -9u+4=0
(delta)=49
u1=1/2 ou u2=4

x+1/x=1/2
(delta)=1/4-4==> (delta) <0 ===> pas de solution

x+1/x=4
(delta)=12 donc x1=12 donc x1=2- $sqrt$3 ou 2+ $sqrt$3

voilà !! :razz:

[Zauctore]

Bravo !

[lodizzz]

Simple question :
Coment au final on arrive a démontrer que :
(2x4+2-9x3-9x+14x2)/x2 = 0
Equivaut à :
2x4-9x3
14x2-9x+2 = 0

???

Répondez moi j'ai exactement le même DS que toi et je comprend rien du tout à cet exo !!!

Merci d'avance :rolling_eyes:

[Zauctore]

Un quotient P/Q ne peut être égal à 0
que lorsque son numérateur P est égal à 0.
C'est pour cela que
$(2x^4$ + 2 - $9x^3$ - 9x + 14x²)/x² = 0
equiv/ $2x^4$ + 2 - $9x^3$ - 9x + 14x² = 0
il ne reste qu'à ré-ordonner les termes.