Etudier le sens de variations et les limites d'une fonction logarithme népérien

[bourgeoise21]

Bonjour, voici un DM que je n'arrive pas à faire. Pourriez vous m'aidez svp ?

On désigne par f la fonction définie sur ] 0 ; +inf [ par (ln x / racine x).
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormée (O,i,j).

a. Etudier le sens de variation de f.
-> il faut bien trouver la dérivé et j'ai f'(x) = (2-lnx)/(2x racine x).
je ne vois pas quel peut etre le signe de f'.

b. Déterminer les fonctions de f en 0 et +inf.
-> j'ai trouvé en 0 lim f(x) = -inf (à me confirmer)
et je bloque sur celle à +inf.

c. Dresser le tableau de variations de f.
-> je pense y arriver si j'ai le début.

d. Préciser ses asymptotes.
Je suppose que celle en 0 en est une.
Et je pense que celle en +inf en sera une aussi.

2. On désigne par (T) la tangente à (C) au point d'abscisse 1.
   a. Déterminer une équation de (T)
   -> j'ai trouvé :
   T = f'(1)(x-1)+f(1)
   T = 1 (x-1) + 0
   T = x - 1

b. On désigne par g la fonction définie sur ]0 ; +inf[ par g(x)=(x-1)-f(x).
Calculer g'(x) et vérifier que g'(x)= 1/(2x racine x)[lnx + 2(x racine x - 1)]
-> je bloque ici.

3. Soit lembda un reel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonctions linéaires x -> x lembda , majorant la fonction
   f(x) = ln (x+1) sur ]0; +inf[.
   Soit f lembda (en indice) la fonction définie sur ]0; +inf[ par
   f lembda = ln (x+1) - x lembda.

a. Etudier les variations de f 1(en indice) sur [0; +inf[.
-> dois je remplacer lembda par 1 ?

b. Etudier la lim de f 1 en +inf.
c. Montrer que quelque soit x appartenant [0;+inf[, ln(x+1) <(ou egal) x.
d. Que peut on en déduire si lembda >(ou egal) 1.
e. Le reel lembda vérifie 0 < lembda < 1. Etudier les variations de f lembda. On ne demande pas la limite de f lembda en + inf.
f. En déduire les valeurs de lembda strictement positives telles que pour tout x >(ou egal) 0 , f(x) <(ou egal) x lembda.

Mercii beaucoup.

[Zorro]

Bonjour,

En Terminale S tu devrais pouvoir utiliser de façon efficace les possibilités offertes par ce forum pour écrire les expressions mathématiques !

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des symboles mathématiques et des lettres grecques , merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici