Déterminer et résoudre une équation différentielle

Bonjour , j'ai déjà fais la moitié de l'exercice que je dois faire mais là je suis bloqué , alors j'attend avec impatience et remerciement votre aide :
Donc pour que vous puisiez m'aider je vais déjà vous donner se que j'ai trouvé :
L'objet de cet exercice est d'utiliser une fonction N dérivable sur (0 ; +oo( pour modéliser l'évolution du nombre d'individus d'une population d'animaux dans un milieu donné en fonction du temps t en années . La vitesse d'évolution est donnée par la fonction dérivée N' , en nombre d'individus par an . Le milieu ne peut pas acceuillir plus de 300 individus . Le taux de croissance instantané n'est pas constant , mais est une fonction affine f de N et passe progressivement de +5% pour une population initiale de N=100 individus à 0% pour N=300 individus .
On a: N'=f(N)*N

a)Déterminer f(N) et justifier que N vérifie l'équation différentielle (1):
N'=-(1/4000)N^2 +(3/40)N

Ma réponse :

a300+b=0 et a100+b=5/100
donc a300=-b et 100a+b=5/100
donc -200*a=5/100 ;
a= -(1/4000) et b=3/40

b)La fonction nulle sur (0 ; +oo( est solution de (1) . On admettra que toute autre solution ne s'annule pas sur (0 ; +oo( . Soit N une telle fonction .
On pose: Z=1/N

i)Exprimer N et N' en fonction de Z et Z'.

Ma réponse :

N c'est evident N=1/Z
N' du coup = -Z'/Z²

ii)Démontrer que N est solution de l'équation différentielle (1) sur (0 ; +oo( si et seulement si Z est une solution qui ne s'annule pas sur (0 ; +oo( de l'équation différentielle (2) : Z' = -(3/40)Z + (1/4000)

c'est z'=1/4000+3/40N
mais comme N=1/z
donc z'=1/4000+3/40*1/z
donc z'=1/4000-3/40z donc on tombe sur celle donnée dans l'énoncé

en faite z=1/N
et z'= -(n'/n^2)
donc z'= -(1/4000) + 3/40N
On trouve :z'= -(1/4000) + 3Z/40

c)Résoudre l'équation différentielle '2) sur (0 ; +oo(

Et la je bloque mon idée c'est la suivante mais je ne suis pas sur :
Z'=-(3/40)Z+1/4000
Donc a=-(3/40) et b=1/4000
Donc l'équation différentielle admet une infinité de solution de la forme :
f(x)= λe^(-(3/40)x) + 1/300
Donc si une telle fonction ne s'annule pas sur (0 ; +oo( elle fournit une solution sur (0 ; +oo( qui est la fonction :
x −>1/(λe^(-(3/40)x) + 1/300)

voila merci de me donner votre avis

Bonjour,

L'ensemble est correct.

Merci de me répondre alors c'est juste ma réponse éventuelle à la question c) ?

La réponse à la question c) est correcte.

Bonjour , d'accord c'est juste allors merci !
Et pour la prochaine questino je ne suis non plus pas sur donc si vous voulez bien je vous l'expose :
d)En déduire que l'équation (1) admet une unique solution N sur (0 ; +oo( telle que N(0)=100 qui est donnée par :
t appartient à (0 ; +oo( N(t)=(300)/(1+2e^(-(3/40)t)

Coyez vous que l'on doit remplacer t par 100 et que ca donnerait :
N(0)=(300)/(1+2e^(100)) ? Merci à l'avence de votre réponse !

Pourquoi remplacer t par 100, c'est N(0), soit t = ....

Alors il faudrait remplacer t par 0 ?
N(0)=(300)/(1+2e^(0))
donc ca donnerait : N(o)=100

Tu dois trouver l'expression indiquée à partir de : x −>1/(λe^(-(3/40)x) + 1/300)
en prenant N(0) = 100

je vienx d'essayer mais je ne trouve pas :frowning2:

Donne l'expression de N(0).

à partir de N(t) je dois donner l'expression de N(0) ?
N(t)=(300)/(1+2e^(-(3/40)t)
N(0)=(300)/(1+2e^(-(3/40)100)
N(0)=(300)/(1+2e^(-(3/40))

Tu dois partir de
N(t) = 1/(λe^(-(3/40)t) + 1/300)
Exprime N(0)
puis utilise N(0) = 100 pour trouver λ.

D'accord donc j'ai fais ca :
N(t) = 1/(λe^(-(3/40)t) + 1/300)
N(0)=1/(λe^(-(3/40)*0) + 1/300)
N(0) = 1/(λ + 1/300)

et après pour trouver λ faut que j'utilise N(0)=100:
N(0)=1/(λe^(-(3/40)*100) + 1/300)
N(0)=1/(λe^(-(3/40)) + 1/300)
Mais j'arrive pas à trouver λ

Résous :
1/(λ + 1/300) = 100

donc :
1/(λ + 1/300) = 100
⇔1/λ + 1/(1/300) = 100
⇔1/λ = 100 - (1/(1/300))
⇔1/λ=-200
⇔λ=-(1/200)

T'es sur jenni672 ? C'est juste Noemi ?

Quoi j'ai rien compris la , tu te parle à toi méme jenni672 ou tu t'es trompé de nom ...? Je suis pas sur si c'est juste ta réponse

Dsl yan je voulais dire je suis pas sur , attent la réponse de Noemi !

L'implication :
1/(λ + 1/300) = 100
⇔1/λ + 1/(1/300) = 100
est fausse
1/(λ + 1/300) = 100
⇔ λ + 1/300 = 1/100

donc c'était faux la réponse de jenni672 mais c'est pas grave tu m'a quand méme aidé jenni672 !
Donc si c'est :
1/(λ + 1/300) = 100
⇔ λ + 1/300 = 1/100

Alors en reprenant le calcul :
λ =(1/100)-(1/300)
mais ca me donne une valeur aprochée qui est λ ≈0.007≈7*10^(-3)

Réduis au même dénominateur et détermine la valeur exacte.

Alors si je réduis au méme dénominateur ca fait :
λ =(1/100)-(1/300)
⇔λ=(3/300)-(1/300)
⇔λ=2/300 Voila

C'est juste.

D'accord merci :
pour la question e)Dresser le tableau de variation de la fonction N avec sa limite en +oo sans justifier . Interpréter .

pour la fonction N c'est laquelle c'est :
N(t)=(300)/(1+2e^(-(3/40)t)

C'est cette fonction.

Mais je comprends pas quand je veux afficher la courbe ca fait pas ?!

Tu dois modifier les éléments de la fenêtre de la calculatrice.

quels éléments ?

Quel type de calculatrice as-tu ?

une TI 83 plus , mais on peut aussi entrer la courbe sur un grapheur de l'ordinateur mais ca marche non plus pas

Sur la calculatrice à Window
Xmin : -1
Xmax : 80
Ymin : -1
Ymax 70

Non toujours rien et sur geogebra tu sais comment faire ?

Vérifie la programmation de ta fonction.

Non je sais vrément pas !!!

Je me suis trompé de fonction :
Sur la calculatrice à Window
Xmin : -1
Xmax : 100
Ymin : -1
Ymax : 350

ha c'est bon c'est une courbe croissante qui se stabilise à 300!

Donc : tableau de variation :

t -oo 95 +oo

N(t) fléche croissante 0 fléche croissante

L'étude est pour x variant de 0 à +∞ ?
donc x 0 + ∞ ; pourquoi ce 95 ?
Donc fonction croissante de ...... à .....

ha oui c'est vrai 95 car la fonction s'annule à 95 on le voit graphiquement la fonction est ccroissante de 0 à +oo

La fonction ne peut pas s'annuler à 95 puisqu'elle est croissante et que N(0) = 100.