Interprétation géométrique d'une suite de nombres complexes

Bonjour, j'ai un exercice de math sur les complexes et les suites à faire pendant les vacances. Je ne maitrise pas encore très bien les complexes ni les suites donc j'ai un peu de mal sauf pour le début de l'exercice :

Données : $z_0$ =1 et $z_{n+1}$ =(3/4 + i√ $3/4)*z_n$

Calculer $z_1$ à $z_6$ et les placer dans un repère, donc pas de problème

A partir d'ici je ne vois pas trop comment procéder :

On pose $d_n$ =| $z$ {n+1} $z_n$ |
a) Vérifier que pour tout n > 1 , $z$ {n+1} $z_n$ =(3/4 + i√ $3 / 4) (z$ n $z</em>{n-1}$ ).
b) En déduire une relation entre $d_n$ et $d_{n-1}$ puis $d_n$ en fonction de n et de $d_0$
c) Donner une interprétation géométrique de chacun des nombres $d_n$

La suite est encore plus compliquée pour moi, mais je la metterais une fois que j'aurais réussi à faire la première partie. Merci

Bonjour,

Exprime $z_n$ en fonction de $z_{n-1}$ puis calcule la différence
$z_{n+1}$ - $z_n$

a ok, merci. pour la b) j'imagine que je ne peux pas passer de $d_n$ =| $z$ _{n+1} $z_n$ | à $d$ n $= z$ {n+1} $z_n$ .. ?

Pour le b, calcule la norme de $z_{n+1}$ - $z_n$ .

et je fais comment ? je mets $d_n$ =|(3/4 + i√ $3 / 4) (z$ n $z</em>{n-1}$ )| , je développe , et ensuite j'en déduis quoi ?

Calcule le module de 3/4 + i√3/4
puis écris la relation entre $d_n$ et $d_{n-1}$

pour le module je trouve √3/2 mais je ne vois pas comment trouver la relation après ..

dn = √3/2 dn-1

Exprime $d_n$ en fonction de n et $d_0$ .

$d_n$ = (√ $3/2)*(d_0$ -n)

Non,

dn = √3/2 dn-1
$d_{n-1}$ = √3/2 $d_{n-2}$
.....

mais je ne vois toujours pas comment faire intervenir le $d_0$ ..

$d_n$ = √3/2 $d_{n-1}$
$d_{n-1}$ = √3/2 $d_{n-2}$ ; soit $d_n$ = 3/4 $d_{n-2}$
$d_{n-2}$ =
$d_{n-3}$ = ...
......

Je vois bien comment vous passez de $d_n$ =√ $3/2<em>d_{n-1}$ à $d$ _ $3/4</em>d_{n-2}$ mais je ne comprend toujours comment on peut faire pour faire apparaître le $d_0$

Bonjour,

Le premier terme :
$d_1$ = √3/2 $d_0$

je ne vois toujours pas comment faire ..

Bonjour,

Quel type de suite a t-on ? arithmétique ou géométrique ?

géométrique

a ok donc c'est peut - être $d_n$ = $d_0$ *(√ $3/2)^n$ ?

Donc quelle est la relation pour une suite géométrique ?

$u$ _n $a*q^n$

Oui,
$d_n$ = $d_0$ *(√ $3/2)^n$

ok merci enfin trouver ...

pour la c) je ne vois pas se qu'on attend par "interprétation géométrique de chacun des nombres $d_n$ "

Que représente $d_0$ , $d_1$ , .....

par rapport aux points $M_0$ ; $M_1$ ....
que tu as placés dans le repère ?

ce sont mes mêmes je pense

d0=z0, d1=z1, d2=z2...

Non,
$d_n$ =| $z$ _{n+1} $z_n$ |

je ne vois pas... cela ferait $d_1$ =| $z$ _2 $z_1$ | par exemple mais graphiquement .. peut être que c'est l'image de $z_1$ par rapport à $z_2$ ?

??

As tu déterminé les valeurs de $d_0$ , $d_1$ , $d_{2 }$ ?

est - ce que d1=|z2-z1| c'est égal à d1=|z2|-|z1| ? sinon je ne vois pas comment faire pour calculer d1, d2 ...

Non,
Le module d'une différence n'est pas égal à la différence des modules.

Tu as calculé $z_1$ à $z_6$
donc tu peux calculer $d_1$ , $d_2$ , ....

a ok. Par contre je les ai calculé sous avec la forme exponentielle, donc sa me donne : d1=| √3/2e(iπ/6) - 3/4e(iπ/3) |, donc après je peux pas faire grand chose avec ça ..

jojolenantais
a ok. Par contre je les ai calculé sous avec la forme exponentielle, donc sa me donne : d1=| √3/2e(iπ/6) - 3/4e(iπ/3) |, donc après je peux pas faire grand chose avec ça ..

en fait c'est d1 =| 3/4e(iπ/3) - √3/2e(iπ/6) | (j'avais inversé z1 et z2)

Utilise la relation :
$d_n$ = $d_0$ *(√ $3/2)^n$

Noemi
Utilise la relation :
$d_n$ = $d_0$ *(√ $3/2)^n$

On ne connait pas $d_0$ .. ?

Calcule $z_1$ puis $d_0$

j'ai trouvé $d_0$ = 1/2

donc $d_1$ =√3/4, $d_2$ = ...

cela ferait que tous les points $d_n$ se situerait sur l'axe des réel. C'est ça l'interprétation géométrique?

Oui,
$d_0$ = 1/2

$d_n$ est la distance entre deux points consécutifs.
donc les points ....

sont alignés ?

Quand tu as placé $z_1$ à $z_6$ dans un repère, les points étaient alignés ?