Etudier une suite définie par une intégrale


  • S

    (re) bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo, merci.

    u est la suite définie pour tout entier n ≥ 2 par:

    Un= 1 +1/2 + ... + 1/n - ∫1n1/x,dx\int_{1}^{n} {1/x} ,\text{d}{x}1n1/x,dx.

    1)Construire dans un repère orthonormal la courbe représentative de la fonction x → 1/x sur ]0;+∞[.

    2)a) Sur les intervalles [1;2] , [2;3] et [3;4], construire respectivement les rectangles R1, R2, R3 de hauteur 1/2; 1/3; 1/4 et les rectangles R'1, R'2 et R'3 de hauteur 1; 1/2; 1/3.

    En déduire que 1/2 + 1/3 + 1/4 ≤ ∫141/x,dx\int_{1}^{4} {1/x} ,\text{d}{x}141/x,dx ≤ 1 + 1/2 + 1/3.

    b) n est un entier tel que n ≥2. Montrer que 1/2 + 1/3 +...+ 1/n ≤ ∫1n1/x,dx\int_{1}^{n} {1/x} ,\text{d}{x}1n1/x,dx ≤ 1+ 1/2+ ... + 1/(n-1).

    1. En déduire que pour tout entier n ≥2, 0≤Un≤1.

    4)a) Démontrer que pour tout entier n ≥ 2, 1/(n+1) ≤ ∫nn+11/x,dx\int_{n}^{n+1} {1/x} ,\text{d}{x}nn+11/x,dx ≤ 1/n.

    b) En déduire que la suite u est décroissante.
    c) Montrer que la suite u est convergente. On note C sa limite (le nombre C est appelé constante d’Euler).

    5)v est la suite définie pour n ≥ 2 par Vn = Un - 1/n

    a) Montrer à l’aide de la question 4)a) que les suites u et v sont adjacentes.
    b) En déduire que pour tout entier n ≥ 2, 0≤Un-C≤1/n.

    2)a) j'ai tracé la courbe, j'ai pris comme unité 1 cm = 0,2 cm. comment ça se passe pour construire les rectangles ?


  • N
    Modérateurs

    Re Bonjour,
    Pour les rectangles :
    Sur l'intervalle [1;2], le rectangle à pour dimension largeur l'intervalle [1;2], hauteur 1/2 ;
    Sur l'intervalle [2;3], le rectangle à pour dimension largeur l'intervalle [2;3], hauteur 1/3 ;
    ....

    Tu compares ensuite les aires par rapport à la courbe.


  • S

    il faut que je retrace la courbe, c'est mieux de prendre quoi comme unité ?


  • N
    Modérateurs

    Prend 2 cm pour unité.


  • S

    ok, j'ai tracé la courbe et les rectangles. bon après pour démontrer l'inéquation j'arrive pas trop


  • N
    Modérateurs

    Que peux tu dire de la position de la courbe par rapport aux rectangles ?


  • S

    Noemi
    Que peux tu dire de la position de la courbe par rapport aux rectangles ?

    d'après mon graphe, la courbe est en dessous des rectangles R1, R2, R3, R'1,R'2,R'3


  • N
    Modérateurs

    Ce n'est pas possible,
    dans un cas, tu dois être en dessous, 1/2 + 1/3 + 1/4; (R1, R2, R3)
    et dans l'autre tu dois être au dessus 1 + 1/2 + 1/3 ; (R'1, R'2, R'3)

    Vérifie ton tracé.


  • N
    Modérateurs

    Le graphique avec les premiers rectangles.

    Courbe f(x) = 1/x


  • S

    ah, je me suis trompé quand j'ai tracé les rectangles. donc je comprend bien l'inéquation mais à chaque fois je ne sais pas démontrer


  • N
    Modérateurs

    Pour le tracé que j'ai transmis, la somme des aires des rectangles est :
    1/2 + 1/3 + 1/4
    Tous les rectangles sont en dessous de la courbe, donc la somme est inférieure à l'intégrale.
    Pour les autres rectangles, ils sont tous au dessus de la courbe, donc la somme est supérieure à l'intégrale.
    D'ou l'écriture de l'inéquation.

    Si on construit n rectangles, on en déduit l'inéquation à l'ordre n.


  • S

    bonjour,

    ok pour la question 2)a).

    2)b) c'est la même inéquation sauf que c'est à l'ordre de n, donc l'inéquation est aussi vraie, comme tu as dit avant? mais comment justifier


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    On considère juste que l'on étend à l'ordre n. La question est juste montrer .... et non démontrer.


  • S

    ok.

    donc je peut juste écrire, si on étend à l'ordre n l'inéquation 1/2 + 1/3 + 1/4 ≤∫141/x,dx\int_{1}^{4} {1/x} ,\text{d}{x}141/x,dx ≤ 1 + 1/2 + 1/3 on a 1/2 + 1/3 +...+1/n ≤∫1n1/x,dx\int_{1}^{n} {1/x} ,\text{d}{x}1n1/x,dx ≤ 1 + 1/2 +...+1/(n-1) ?


  • N
    Modérateurs

    Oui,

    C'est correct.


  • S

    ok.

    1. si la somme des aires des triangles R1;R2 et R3 est plus petites que l'intégrale, je ne comprend pas comment on peut avoir 0≤Un≤1

  • N
    Modérateurs

    Tu sais que :
    1/2 + 1/3 +...+ 1/n ≤ ∫1n1xdx\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}1nx1dx
    soit
    1/2 + 1/3 +...+ 1/n - ∫1n1xdx\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}1nx1dx ≤ 0
    Et
    Un = 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n - ∫1n1xdx\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}1nx1dx

    Un = 1 + k ( avec k ≤ 0)
    donc
    Un ≤ 1


  • S

    d'accord mais comment on sait que Un ≥ 0 ?


  • N
    Modérateurs

    Pour Un ≥0, tu prends les deux termes de droite de l'inéquation.


  • S

    Noemi
    Pour Un ≥0, tu prends les deux termes de droite de l'inéquation.

    quels termes ?


  • N
    Modérateurs

    ∫1n1xdx≤1+12+13+.....1n−1\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}\leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}3{} + .....\frac{1}{n-1}1nx1dx1+21+31+.....n11


  • S

    Noemi
    ∫1n1xdx≤1+12+13+.....1n−1\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}\leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}3{} + .....\frac{1}{n-1}1nx1dx1+21+31+.....n11

    je ne vois toujours pas pour montrer qu Un ≥0 :frowning2:


  • N
    Modérateurs

    D'après l'inéquation précédente,
    1+12+13+....+1n−1−∫1nf(x)dx≥01+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n-1}-\int_{1}^{n}{f(x)dx}\geq 01+21+31+....+n111nf(x)dx0
    donc
    1+12+13+....+1n−1+1n−∫1nf(x)dx≥01+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}-\int_{1}^{n}{f(x)dx}\geq 01+21+31+....+n11+n11nf(x)dx0


  • S

    Noemi
    D'après l'inéquation précédente,
    1+12+13+....+1n−1−∫1nf(x)dx≥01+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n-1}-\int_{1}^{n}{f(x)dx}\geq 01+21+31+....+n111nf(x)dx0
    donc
    1+12+13+....+1n−1+1n−∫1nf(x)dx≥01+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}-\int_{1}^{n}{f(x)dx}\geq 01+21+31+....+n11+n11nf(x)dx0

    je suis désolé mais je n'arrive pas à comprendre comme obtenir ça
    d'après 1/2+1/3+...+1/n ≤ ∫1n1/x,dx\int_{1}^{n} {1/x} ,\text{d}{x}1n1/x,dx ≤ 1+1/2+...+1/(n-1).


  • N
    Modérateurs

    Tu prends en compte que la dernière inéquation et tu fais passer l'intégrale à droite.


  • S

    Noemi
    Tu prends en compte que la dernière inéquation et tu fais passer l'intégrale à droite.

    donc je me retrouve avec 1/2+1/3+...+1/n ≤ 1+1/2+...+ 1/(n-1) - ∫1n1/x,dx\int_{1}^{n} {1/x} ,\text{d}{x}1n1/x,dx


  • N
    Modérateurs

    Non

    a ≤ b ≤ c équivalent ) a ≤ b et b≤ c
    et si b≤ c alors c - b ≥ 0

    Si tu soustrais b
    a - b ≤ b - b ≤ c - b soit
    a- c ≤ 0 ≤ c - b


  • S

    Noemi
    Non

    a ≤ b ≤ c équivalent ) a ≤ b et b≤ c
    et si b≤ c alors c - b ≥ 0

    Si tu soustrais b
    a - b ≤ b - b ≤ c - b soit
    a- c ≤ 0 ≤ c - b

    ah d'accord ! donc on a 1+1/2+...+ 1/(n-1) - ∫1n1/x,dx\int_{1}^{n} {1/x} ,\text{d}{x}1n1/x,dx ≥0. mais ce qui me gêne c'est 1/(n-1). pour Un on a 1/n ?


  • N
    Modérateurs

    Tu ajoutes 1/n de part et d'autre de l'inégalité, cela fait ≥ 1/n donc ≥ 0 car n >0.


  • S

    Noemi
    Tu ajoutes 1/n de part et d'autre de l'inégalité, cela fait ≥ 1/n donc ≥ 0 car n >0.

    d'accord.

    4)a) on doit commencer par où


  • N
    Modérateurs

    Ecris l'inégalité précédente à l'ordre n+1.


  • S

    Noemi
    Ecris l'inégalité précédente à l'ordre n+1.

    et comment ça se fait que 1 1/2 1/3 ... disparaissent ?


  • N
    Modérateurs

    Ecris l'inégalité précédente à l'ordre n+1.
    Puis tu soustrais les deux inéquations.


  • S

    à gauche : 1/2 + 1/3 +...+ 1/(n+1) - 1/2 - 1/3 -1/n
    à droite : 1 + 1/2 + 1/n - 1 -1/2 - 1/(n-1) ?


  • N
    Modérateurs

    Donc il reste à gauche 1/(n+1) et à droite 1/n
    au centre l'intégrale de 1/x pour x variant de n à n+1.

    Pour la décroissance de la suite tu calcule
    UUU_{n+1}−Un-U_nUn en utilisant l'inéquation.


  • S

    Noemi
    Donc il reste à gauche 1/(n+1) et à droite 1/n
    au centre l'intégrale de 1/x pour x variant de n à n+1.

    Pour la décroissance de la suite tu calcule
    UUU_{n+1}−Un-U_nUn en utilisant l'inéquation.

    ok, mais un moment on a , 1/(n+1) - 1/n ≤ ∫1n+11/x,dx\int_{1}^{n+1} {1/x} ,\text{d}{x}1n+11/x,dx ≤ 1/n - 1/(n+1)

    comment on arrive à 1/(n+1)≤ ∫1n+11/x,dx\int_{1}^{n+1} {1/x} ,\text{d}{x}1n+11/x,dx ≤ 1/n ?


  • N
    Modérateurs

    Tu as :
    1/2+1/3+....+1/n+1/(n+1)≤∫1n+11/xdx≤1+1/2+1/3+....+1/(n−1)+1/n1/2+1/3+ .... + 1/n + 1/(n+1) \leq \int_{1}^{n+1}{1/xdx}\leq 1+1/2+1/3+ ....+ 1/(n-1)+1/n1/2+1/3+....+1/n+1/(n+1)1n+11/xdx1+1/2+1/3+....+1/(n1)+1/n
    et
    1/2+1/3+....+1/(n−1)+1/n≤∫1n1/xdx≤1+1/2+1/3+....+1/(n−2)+1/(n−1)1/2+1/3+ .... + 1/(n-1) + 1/n \leq \int_{1}^{n}{1/xdx}\leq 1+1/2+1/3+ ....+ 1/(n-2)+1/(n-1)1/2+1/3+....+1/(n1)+1/n1n1/xdx1+1/2+1/3+....+1/(n2)+1/(n1)
    Si tu soustrais
    1/(n+1)≤∫nn+11/xdx≤1/n1/(n+1) \leq \int_{n}^{n+1}{1/xdx}\leq 1/n1/(n+1)nn+11/xdx1/n


  • S

    il y a des termes que je ne vois pas d'où ils sortent. donc je vais essayer de reprendre.

    1/2+1/3+...+1/n ≤ ∫1n1/x,dx\int_{1}^{n} {1/x} ,\text{d}{x}1n1/x,dx ≤ 1+1/2+...+1/(n-1)

    ça c'est l'inéquation de départ pour la question 4)a). donc tu m'a dit de mettre cette inéquation à l'ordre de n+1 donc ça donne :

    1/2+1/3+...+1/(n+1) ≤ ∫1n+11/x,dx\int_{1}^{n+1} {1/x} ,\text{d}{x}1n+11/x,dx ≤ 1+1/2+...+1/n

    après tu m'a dit de soustraire ces 2 inéquations :

    1/(n+1)-1/n ≤ ∫1n+11/x,dx\int_{1}^{n+1} {1/x} ,\text{d}{x}1n+11/x,dx ≤ 1/n-1/(n-1)

    après je sais pas. c'est bien ça jusqu'ici ? pace que la je suis vraiment paumé


  • N
    Modérateurs

    Non,

    Tu fais la même erreur

    1/2 + 1/3 + 1/4 + ......+ 1/n
    les .... veulent indiquer que l'on effectue la somme jusqu'à la valeur n
    Par exemple si n = 10
    1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10
    Donc le terme avant 1/n c'est 1/(n-1)
    et celui avant 1/(n-1) c'est 1/(n-2)

    J'ai indiqué le résultat dans mon précédent post.


  • S

    Noemi
    Tu as :
    1/2+1/3+....+1/n+1/(n+1)≤∫1n+11/xdx≤1+1/2+1/3+....+1/(n−1)+1/n1/2+1/3+ .... + 1/n + 1/(n+1) \leq \int_{1}^{n+1}{1/xdx}\leq 1+1/2+1/3+ ....+ 1/(n-1)+1/n1/2+1/3+....+1/n+1/(n+1)1n+11/xdx1+1/2+1/3+....+1/(n1)+1/n
    et
    1/2+1/3+....+1/(n−1)+1/n≤∫1n1/xdx≤1+1/2+1/3+....+1/(n−2)+1/(n−1)1/2+1/3+ .... + 1/(n-1) + 1/n \leq \int_{1}^{n}{1/xdx}\leq 1+1/2+1/3+ ....+ 1/(n-2)+1/(n-1)1/2+1/3+....+1/(n1)+1/n1n1/xdx1+1/2+1/3+....+1/(n2)+1/(n1)
    Si tu soustrais
    1/(n+1)≤∫nn+11/xdx≤1/n1/(n+1) \leq \int_{n}^{n+1}{1/xdx}\leq 1/n1/(n+1)nn+11/xdx1/n

    donc ok. mais tu soustrais quels membres avec quals membres parceque je n'obtiens pas le même résultat


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