Démontrer que la tangente à C en A coupe le segment [OP] en son milieu

Bonjour, je suis en 1ère s , et j'ai un problème pour résoudre un exercice.

Voila l'énoncé :
Dans un repère (O,i,j), soit C la courbe représentative de la fonction définie sur R par f(x) = x².
Soit a un réel non nul, A le point de C d'abscisse a et P le point de coordonnées (a;0).
Voila ce que j'ai déduis de l'énoncé : A(a;mais je ne sais pas que vaut y) et P(a;0). De plus, il semblerait que P se situe quelque part sur l'axe des abscisse étant donné que y vaut 0.

Démontrer que la tangente à C en A coupe le segment [OP] en son milieu.
Là, je suppose qu'il faut se servir de la formule qui concerne le nombre dérivé d'une fonction en un point, à savoir : y = f'(a) (x-a) + f(a).
Cependant j'ignore la valeur de a et je pense que c'est ce qu'il faudrait commencer par déterminer pour résoudre la suite de cette question.
En déduire un moyen simple de construire la tangente en un point de C.
Il me semble que je parviendrait à résoudre cette question si je résouds celle du 1).

Je n'arrive pas du tout à débloquer cette exercice.
Si quelqu'un pouvait m'aider. :rolling_eyes:
Merci d'avance.

Bonjour,

Cherche les coordonnées du milieu du segment [OP],
et l'équation de la tangente au point A.

Merci Noemi
J'ai essayé de chercher les coordonnées de I milieu de [OP], et voila ce que ça a donné :
O(0;0) car c'est le centre du repère
et P(a;O)
I{(xo + xp)/2 ; (yp + yo)/2}
I{(a+ a)/2 ; (0 + 0)/2}
I{a/2 ; 0}
Mais encore une fois le réel a me pose problème étant donné que j'en ai besoin pour déterminer les coordonnées exactes de I milieu de [OP] et pour déterminer l'équation de la tangente au point A.
Merci d'avance.

oui, I (a:2;0)
Tu dois écrire a car tu ne connais pas la valeur.

Recherche maintenant l'équation de la tangente au point A.

Voila ce que j'ai essayé de faire, mais je n'en suis pas sure:
Je recherche l'équation de la tangente au point A, je me sers du point A d'abscisse a
La formule est : f'(a) (x-a) + f(a)
On cherche dans un 1er temps f(a) : ici c'est une fonction carré , par conséquent f(a) = a²
On cherche dans un 2nd temps f'(a)
f'(a) :
(f(a+h) - f(a))/h
=((a+h)² - a²) /h
=(a² + 2ah + h² -a² )/h
=(2ah + h²) / h
= (h(2a+ h)) / h
=2a + h
On cherche maintenant la limite de 2a + h quand x tend vers 0
lim h→0 2a+ h = 2a
f est donc derivable en a et f'(a) = 2a
La tangente en a est donc :
y = 2a (x-a) + a²
y = 2ax - 2a² + a²
y = 2ax - a²
merci

C'est juste.

Vérifie que le point I appartient à cette droite.

Je pense que pour vérifier que I appartient à cette droite, il faut raisonner ainsi :
y = 2ax -a²
I(a/2 ; 0)
y = (2a(a/2)) -a²
y = a² - a²
y = 0
Donc I appartient appartient à cette droite
Est-ce que mon raisonnement est juste
merci beaucoup

C'est juste.

Merci beaucoup Noemie pour toutes tes indications.
Cependant j'ai encore un petit problème pour la question 2)
On nous demande de constriure la tangente en un point de C.
Je me demande si je devrais construire cette tangente au point A.
Si oui comment la construire étant donné que je ne connais pas la valeur de a. En effet a m'est utile pour 1èrement placer le point A (a;a²). Cela m'est aussi utile pour faire en sorte que cette tangente passe par le milieu de [OP], car P(a;0).

Pour construire la tangente, tu choisis un point de C d'abscisse un nombre entier ( par exemple x = 2), tu places les points P et I et tu traces la tangente.

Je te remercie beaucoup Noemie.
J'ai finie mon exercice.