Résoudre un système de deux équations avec 2 paramètres


  • B

    Bonjour 😄

    Pouvez vous regardez svp
    Il faut que je résolve et discute, suivant les valeurs des paramètres réels m et p, le système suivant dans R2

    9(m-1)x - (m+2)y = p

    (4m +8)x - (m-1)y = m+p

    Je pense que je dois d'abord étudier le cas où m=1
    y=-p/3
    x=(m+p)/12
    Merci d'avance


  • M

    C'est encore moi.
    Tu n'aurais pas plutôt des exercices un peu moins " calculatoires " ?
    Enfin.
    Avant toute chose : deux questions :

    1. As-tu vu la méthode de Cramer ( avec les déterminants ) pour résoudre les systèmes ?
    2. Etudier d'abord le cas m = 1 : peut-être, on va voir, mais pourquoi pas aussi le cas m = -2 ?

  • B

    si si mais je dois tous les faire !
    non je n'ai pas vu la méthode de Cramer si ce n'est pas très compliqué à expliquer je veux bien que vous me l'expliquez svp .
    m=1 ou m =-2j'aurais fait les 2!


  • I

    Bonjour à vous deux . . . insertion furtive, juste pour mettre le lien vers la fiche de Zauctore concernant la méthode de Cramer.

    http://www.mathforu.com/cours-96.html

    bonne continuation


  • M

    Désolé, mon message s'est envolé !
    Je recommence.
    m=1 et m=-2 sont des
    cas particuliers: ils rentrent dans le cas général, il est donc inutile de les traiter à part.
    Par contre m = 7 et m = -1/5 sont des
    cas d'exception: ils doivent impérativement être traités à part.

    La méthode de Cramer dans le cas des systèmes de plus de 2 équations à plus de 2 inconnues doit être en dehors de ton programme.
    Mais pour les systèmes de 2 équations à 2 inconnues, tu l'as peut-être vu en seconde.

    Supposons qu'on veuille résoudre ce système :
    ax + by = u
    cx + dy = v

    Pour calculer x on va se débarrasser de y : facile : comme pour le pivot :
    dL1 - bL2 donne (ad - bc)x + 0y = ud - bv
    Donc,
    à condition que ad - bc ne soit pas nul, on obtient
    x= (ud - vb)/(ad - bc)

    De même, aL2 – cL1 donne : 0x + (ad – bc)y = av – uc et donc , toujours
    si ad – bc est non nul:
    y = (av – uc)/(ad – bc).

    Ce sont les formules de Cramer.
    Il est commode de noter ad – bc sous la forme
    | a b |
    | c d |
    ( les barres verticales sont jointives : on appelle cela un déterminant ).
    Il suffit de retenir la façon de le calculer : on soustrait les produits en croix ( dans le bon ordre ).
    Ce nombre ad – bc est le déterminant du système : s’il est non nul le système admet une solution unique donnée par les formules vues plus haut.
    Remarques que le numérateur de x , ud – vb est aussi un déterminant :
    | u b |
    | v d |
    Il a suffit de remplacer la première colonne ( constituée de a et c ) par celle des valeurs situées à droite des égalités.
    Même chose pour le numérateur de y : av – uc =
    | a u |
    | c v |
    Cette fois c’est la deuxième colonne qui a été remplacée.


  • B

    d'accord j'ai compris merci^^
    je trouve donc
    |p m+2 |
    |m+p m-1 |

    et |9(m-1) p|
    |(4m+8) m+p|


  • B

    c'est la solution?? mais je n'ai par contre pas compris m=7 et m=-1/5 étaient des cas particuliers


  • M

    Attention : pour le premier, celui qui fournira x, il faut tenir compte des signes des coefficients.
    Mais il manque le déterminant principal : celui du système :
    | 9(m-1) -(m+2) |
    | 4m+8 - (m-1) |
    Commence par calculer ce déterminant , on verra les autres après.


  • B

    donc

    |p m-2 |
    |m+p m+1 |
    comme ceci?
    ce qui donne x=p(m+1)-(m+p)(m-2)
    non?


  • M

    Pas du tout.
    Le numérateur de x est :
    | p -(m+2) |
    | m+p -(m-1) |
    Ce qui donne non pas x mais seulement le numérateur de x :
    -p(m-1) - [-(m+p)(m+2)]
    Pour avoir le dénominateur, tu dois calculer :
    | 9(m-1) -(m+2) |
    | 4m+8 -(m-1) |
    Désolé, les espaces ne sont pas respectés.
    C'est ce dernier déterminant qu'il faut calculer en premier car, devant figurer au dénominateur, il ne doit pas être nul.


  • M

    Désolé mais je dois me déconnecter.
    Si ce n'est pas urgent on pourra continuer demain.
    Sinon, je pense qu'Iron et Lind sont connectés. Tu peux être tranquille : ce sont des " épées ", et il va certainement en venir d'autres.


  • B

    J'avais une chance sur 2 de me tromper !! en tout cas merci de votre patience 😉
    je trouve pour x=( m²+2m+p)/(13m²+4m-25)


  • M

    Je ne trouve pas cela : peux-tu détailler les calculs ?
    Commence par le déterminant du système :
    | 9(m-1) -(m+2) |
    | 4m+8 -(m-1) |
    = -9(m-1)² - [- (4m+8)(m+2)]


  • B

    d'accord^^

    -9m²+18m-9+4m²+8m+8m+16
    =-5m²+34m+7
    Ceci est ce mieux?


  • M

    Bonjour,
    Oui : je crois que c'est bien le déterminant du système.
    Tu peux maintenant calculer celui qui donne le numérateur de x , et celui qui donne le numérateur de y.


  • B

    comme numérateur de x et de y je trouve 3p+m²+2m
    pour le dénominateur de y je trouve |9(m-1) p|
    |(4m+8) m+p|
    ce qui donne : 9m²+9mp-9m-9p -4mp-8p= 9m²+5mp-9m-17p


  • M

    C'est ce que je trouve aussi.
    Maintenant commence la discussion : Pour pouvoir appliquer les formules de Cramer, le dénominateur ( le déterminant du système ) ne doit pas être nul.
    Tu dois donc commencer par chercher les valeurs qui annuleraient ce dénominateur.


  • B

    je comprends mieux maintenant le m=7 et -1/5 😉
    mais on doit tatonner à la calculatrice pour trouver les valeurs???


  • M

    Tu ne sais pas résoudre une équation du second degré ?
    -5m² + 34m + 7 = 0
    Tu calcules Δ = 34² - 4*(-5)*7 = 1296 = 36²
    etc ...


  • B

    ah mais c'est ce que j'avais fait mais j'avais obtenu un truc impossible...
    ...ah oui ça marche^^ merci bien 😉


  • M

    Ensuite, la discussion fait intervenir trois cas dont certains se subdivisent :

    1. si m≠7 et m≠-1/5 alors le système admet une solution
      uniquedonnée par les formules de Cramer
    2. Si m = 7 : tu regardes, ça va dépendre de p : ou bien il y aura une infinité de solutions, ou bien il n'y en aura aucune.
    3. Même chose si m = -1/5

  • B

    autrement dit je remplace dans l'équation de départ m par7 et m par -1/5?


  • M

    Pas en même temps.
    D'abord, tu remplaces m par 7.


  • B

    oui oui ^^


  • M

    Je vais bientôt me déconnecter, et je ne serai pas là cet après-midi.
    Essaie de ne pas trop traîner.
    Mais il y aura bien du monde cet après-midi pour t'aider.


  • B

    pour m= 7 je trouve deux valeurs différentes pour y


  • B

    ok je fais encore des maths cet après m'
    merci bien!!


  • M

    Ecris les équations obtenues pour m = 7.
    Il ne peut pas y avoir deux valeurs différentes pour y : ou bien il n'y en a pas, ou bien il y en a une infinité.


  • B

    ok
    54x-9y=p
    36x-6y=7+p


  • B

    x=p/54+y/6


  • B

    je remplace dans l'autre équation, ce qui donne :
    36(p/54+y/6)-6y=7+p
    2/3p=7+p
    1/3p=-7
    p=-21


  • M

    Tu remarques que les membres de gauche sont proportionnels.
    Si les membres de droite sont dans la même proportion, il y aura une infinité de solutions : en fait les deux équations seront équivalentes.
    Dans le cas contraire, les deux équations seront contradictoires, et il n'y aura aucune solution.
    Ca dépend de p.
    Pense à l'aspect géométrique : droites confondues ou droites parallèles.
    Je te montre :
    54x - 9y = p ⇔ 9(6x-y) = p
    36x-6y=7+p ⇔ 6(6x-y) = 7+p

    On cherche donc pour quelle (s ) valeur de p on a p/9 = (7+p)/6
    Continue


  • B

    oulààà j'étais partie vraiment au bout du monde..;
    je trouve p=-21


  • M

    Ah! tu as posté pendant que j'écrivais.
    Mais tu as la bonne valeur : p = -21
    Donc, si p = -21 , les deux équations sont équivalentes : elles n'en forment qu'une : en simplifiant : 6x - y = -7/3 ( c'est l'équation d'une droite ).
    Il y a donc une infinité de solutions ( x ; 6x + 7/3 ).
    Mais si p ≠ -21, il n'y a aucune solution ( si tu écris les équations : ce sont celles de deux droites parallèles ).

    Ensuite le cas m = -1/5 se traite de la même façon.
    L'exercice est fastidieux mais facile.


  • B

    j'essaie avec m=-1/5
    ce qui donne :
    (-54/5)x+(9/5)y=p ⇔(9/5)(-6x+y)=p
    (36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p ⇔ (9/5)(4x+y)=(-1/5)+p
    ils ne sont pas proportionnels sauf si erreurs de calcul


  • M

    Il y a erreurs de calcul.
    La seule égalité qui me parait juste est :
    (36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p
    Dans la première, il y a un signe qui ne va pas.
    Dans la dernière, c'est la factorisation.


  • B

    (-54/5)x+(9/5)y=p⇔(-9/5)(6x+y)=p

    (36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p⇔ (6/5)(6x+y)=(-1/5)+p
    -5p/9=-1/6+5p/6
    je trouve p=3/5

    Il y a donc une infinité de solutions (x; -6x+ 1/3)


  • M

    Non : cette ligne :
    (-54/5)x+(9/5)y=p est fausse.
    Et tu as triché dans la factorisation.
    Reprends tes calculs : je t'avais signalé une faute de signe dans (-54/5)x+(9/5)y=p


  • B

    Bonjour,
    (-54/5)x-(9/5)y=p
    (-9/5)(6x+y)=p

    (36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p⇔ (6/5)(6x+y)=(-1/5)+p

    -5p/9=-1/6+5p/6
    -10p/18-15p/18=-1/6
    -25p/18=-1/6
    p=3/25
    Ceci est ce mieux?


  • M

    En tout cas, c'est ce que je trouve aussi.
    Comme je te l'ai dit, l'exercice est très facile mais fastidieux à cause des calculs où on risque constamment de se tromper.


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