problème de séries
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Ssamie dernière édition par
Bonjour,
Voici mon dernier exercice sur les séries, et j'ai vraiment besoin d'un petit coup de pouce !!
Voici l'énoncéSoit (Un) <em>n∈N<em>{n∈N}<em>n∈N une suite à termes positifs telle que ∑Un converge. Pour tout n∈N, on pose rn=∑</em>k=n+1+∞ukrn= \sum</em>{k=n+1}^{+\infty }{}ukrn=∑</em>k=n+1+∞uk
-soit n∈N fixé. Calculer ∑k=0+∞rk−∑k=1nkuk\sum_{k=0}^{+\infty }{}rk - \sum_{k=1}^{n}{}kuk∑k=0+∞rk−∑k=1nkuk
- Montrer que si la série ∑Rn converge, alors la série ∑nUn converge.
b) On suppose que la série ∑nUn converge. Que vaut lim (n+1)Rn?
En déduire que les séries ∑Rn et ∑nUn ont même nature et qu'en cas de convergence, elles ont même somme.c) Application Dans cette question Un(x)=1/nxUn(x)=1/n^xUn(x)=1/nx
-Pour quelles valeurs de x la série ∑ Un(x) est elle convergente?
-on note alors ∂(x)=∑n=1+∞un(x)\sum_{n=1}^{+\infty }{}un(x)∑n=1+∞un(x)
et pour tout n≥0 , rn=∑k=n+1+∞uk(x)rn= \sum_{k=n+1}^{+\infty }{}uk(x)rn=∑k=n+1+∞uk(x)
Pour quelles valeurs de x la série ∑Rn (x) est elle convergente? Exprimer sa somme en fonction de ∂(x-1)
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Ssamie dernière édition par
Pour la première question ( en latex c'est beaucoup plus clair!!)
∑k=0+∞∑k=n+1+∞uk−∑k=1nkuk\sum_{k=0 }^{+\infty }{ }\sum_{k=n+1}^{+\infty }{}uk -\sum_{k=1}^{n}{}kuk∑k=0+∞∑k=n+1+∞uk−∑k=1nkuk
mais je ne peux pas s'implifier une telle écriture??