Droites concourantes



  • Bonjour,
    J'ai des difficulté avec l'exercice suivant:

    Dans le plan rapporté à un repère (O,I,j) On considère les points A (5,5) , B(0,6) , C (4,0), A'(-4,-4), B'(0,2) C'(-6,0) Faire une figure

    1. Montrer que les droites (AA') , (BB') et (CC') sont concourantes

    2. Les droites (AB) et (A'B') se coupent en k , les droites (BC) et (B'C) se coupent en I , les droites (AC) et (A'C') se coupent en j démontrer que les points I,Jet k sont alignés

    3. J'ai pensé à calculer l'équation de chacune de ces droites.
      mais j'ai aussi pensé a utiliser les barycentres (pour plusieurs points pondérés ou faire par deux points pour chaque droite.)

    4. Passer par les vecteurs pour prouver qu'elles sont colinéaires.

    Ce qui me pose problème est d'être dans un repère car je ne vois pas trop la démarche à suivre pour démontrer que le point O est le barycentre.

    Merci d'avance pour votre aide.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    1. Tu peux calculer l'équation des droites, ou un vecteur directeur et montrer que ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
    2. Oui, Coordonnées des points I,J et K et colinéarités des vecteurs IJ et IK.


    Pour AA' je trouve y=1x+0
    pour BB' je trouve y=6
    pour CC' je trouve y=0

    (je crois mettre trompé pour BB' car j'avais lu quelque part:
    Soient B(0;6) et B'(0;-2) : comme xB= xB'= 0 alors (BB') est parallèle à (y'y) et son équation est x=0.(j'en déduis que BB' est parallèle a l'axe des ordonnées).

    • Soient C(4;0) et B(-6;0) : comme yC= yC' = 0 alors (AB) est parallèle à (x'x) et son équation est y=0.
      (j'en déduis que CC' est parallèle a l'axe des abscisses).

    Par contre je ne me rappelles plus comment calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites.

    de nouveau merci d'avance.


  • Modérateurs

    C'est juste.

    Pour les coordonnées du point d'intersection de y1 = a1x + b1 et y2 = a2x+b2, tu fais l'égalité des équations y1 = y2.



  • Merci pour la réponse.
    Pour la deuxième je vais calculer les coordonnées des points i, k, j grâce à l'équation des droites et le théorème que tu m'as indiqué , puis prouver qu'ils sont colinéaires avec les vecteurs colinéaires:
    deux vecteurs u(x,y) et v(x', y') sont colinéaires si et seulement si xy'=yx'.

    Qu'en pensez-vous?

    Ps: je dois donc calculer l'équation de droite de 6droites différentes.


  • Modérateurs

    Oui,

    Tu peux utiliser cette démarche.



  • Je vous mets les équations de droites que j'ai trouvé:
    AB yab=-(1/5)x+6

    A'B' ya'b'=(1/2)+2

    BC ybc=-(3/2)x+6

    B'C' yb'c'=-(1/3)x-2

    AC yac=5x-20

    A'C' ya'c'=-1x

    Je n'ai pas fait le reste car si ces résultats la sont faux ça ne m'aurait aidé qu'a "perdre du temps".


  • Modérateurs

    Rectifie (A'B'), (B'C') et (A'C').



  • pour A'B' je trouve ya'b'=1/2x-1/2

    pour B'C' je trouve toujours yb'c'=-(1/3)x-2

    pour A'C' je trouve ya'c'=-2x-12


  • Modérateurs

    Rectifie (A'B'), (B'C')



  • je vous prie de m'excuser mais le point B' a pour coordonnées (0; -2) et non (0;2)



  • AB yab=-(1/5)x+6
    A'B' ya'b'=(1/2)x-2
    je trouve K(80/7;26/7)

    BC ybc=-(3/2)x+6
    B'C' yb'c'=-(1/3)x-2
    Je trouve I(48/7;-(30/7))

    AC yac=5x-20
    A'C' ya'c'=-2x-12
    Je trouve J(8/7;-(100/7))

    maintenant je calcule les coordonnées des vecteurs KJ et KI
    Grâce à cette propriété:

    KJ(xj -xk; yj- yk)
    je passe les calcules intermédiaire je ne vais mettre que la ligne conductrice.

    KJ(-(72/7);-18)

    Pour KI je fais pareil je me retrouve avec KI(-(32/7);-8)

    Maintenant je peux montrer la colinéarités avec ce théorème :
    Deux vecteurs u(x;y) et v(x';y')
    xy'=yx'
    Grâce à mes précédents calcules je trouve (576/7)=(576/7)

    Et je peux enfin conclure par KJ et KI sont colinéaires ce qui prouvent qu'ils sont alignés.

    Encore merci pour votre aide.
    Bonne nuit et a bientôt.


  • Modérateurs

    L'ensemble est juste.


 

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