Résoudre une équation différentielle

(Re)bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo, merci.

On note f(t) le nombre de ménages, vivant en France, équipés d'un ordinateur (t en années, f(t) en millions; on pose t=0 en 1980). on sait que f(0)=0,01 et on estime que, sur la période allant de 1980 à 2015, f est solution de l'équation différentielle : y'=0,022y(20-y) (1).

résoudre l'équation (1) en posant z=(1/y).
Vérifier, que l'on a avec une bonne approximation :

f(t)=20/(1+2000e-0,44t.

3)Étudier et représenter graphiquement la fonction f sur [0;35].
4)En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint 10 millions ?

1)z=1/y => y=1/z => y'=-z'/z²

z'=-0,44z+0,022 les solutions de l'équation sont les fonctions: $f$ _k$(t)=ke^{-0,44t,/sup>+0,05 2) je remplace t par 0 dans f(t), avec la calculette je trouve 0,0099, d'après l'énoncé, f(0)=0,01 donc l'approximation est bonne. 3) f'(t)=17600e-0,44t/(1+2000e-0,44t)² >0 donc f est croissante sur lintervalle [0;35] et elle croît de 0,01 à 20. pour la courbe, je ne sais pas trop quoi prendre comme unité. }$

Re Bonsoir,

2° la valeur de k est à déterminer à partir de f(0) = 0,01.

comment je dois faire, je ne vois pas

A partir de
f(t) = $1/(ke^{-0,44t}$ +0,05)
et f(0) = 0,01
calcule k

je ne comprend pas ton écriture de f(t). mais ce n'est pas correcte ce que j'ai fait ?

Bonjour,

Que trouves-tu lors de la résolution de l'équation : z'=-0,44z+0,022 ?
z = .....

bonjour, je n'ai pas calculé z.

je suis arrivé à z'=-0,44z+0,022 et j'ai dit que les solutions de l'équation sont les fonctions: $fk(t)=ke^{-0,44t}$ +0,05

La solution proposée correspond à z.
Pour obtenir f, c'est y = 1/z

$y=1/(ke^{-0,44t}$ + 0,05)

Oui,

calcule k à partir de f(0) = 0,01

donc je fais $1/(ke^{-0,44t}$ + 0,05) = 0,01 ?

avec t = 0

donc, 1/(k+0,05)=0,01 comment je fais après

1/(k+0,05)=0,01
revient à :
k + 0,05 = 1/0,01 = 100
k = ....

k=99,95

j'ai remplacé k, on trouve bien 0,01

C'est correct.

ok. pour tracer la courbe, je ne sais pas quoi prendre comme unité

Pour le graphique :
en abscisse : 1 cm pour 2 unités
en ordonnée : 1 cm pour 1 unité

ça fait un grand repère quand même. mais je vais essayé de tracer cette courbe

Pour pouvoir faire une lecture graphique, un repère sur une page est préférable.

Tu peux éventuellement diviser chaque unité par 2.

abscisse; 1 cm =2,5
ordonnée; 1cm=1

c'est bon aussi ?

Oui, c'est correct.

j'ai tracé la courbe, ça fait un "s allongé"

c'est en 1997 que le nombres de ménages équipés atteint 10 millions ?

Ce serait pas en 1998 ?

mais on peut le vérifier en faisant un calcul

Oui, tu peux calculer avec la fonction.
Combien as tu trouvé pour t ?

justement je suis bloqué.

je dois bien faire $20/(1+2000e^{-0,44t}$ )=10 ?

Comment as-tu trouvé 1997 ?

avec la courbe

Tu as trouvé t = ...

t=17

Pour t = 17, tu es en dessous de 10 ?

je penses que c'est plutot 17,5. j'ai mal tracé sur ma courbe

d'après la calculette, t doit être compris entre 17,2 et 17,3

Exact, donc pour t > 17
donc au cours de l'année 1997, soit en 1998.

ok, merci. j'ai commencé un autre exo