Etude de suites (moyenne arithmético-harmonique)

bonjour voici mon exercice:

On definit $u_n$ ) et $v_n$ ) par $u_0$ =3, $v_0$ =5 et pour tout entier naturel n $u_{n+1}$ = $(2 u$ _n $v$ _n $) / (u$ n $v_n$ ) et $v</em>{n+1}$ = $(u$ _n $v_n$ )/2

Montrer que les termes des suites $u_n$ ) et $v_n$ ) sont strictement positifs.

j'ai trouvé

Vérifier que, pour tout entier naturel n, $v$ {n+1} $- u$ {n+1} $= (v$ _n $u_n$ )² $/ (2 (u$ _n $v_n$ )

j'ai trouvé

Pour tout entier n, on pose $w_n$ = $v$ _n $u_n$

a) Montrer que, pour tout n ∈ N , 0≤ $w_{n+1}$ ≤ $1/2w_n$ . ( indication : (vn-un)/(vn+un)=1-2un/(vn+un) )

j'ai trouvé

b) En déduire, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 0≤ $w_n$ ≤ $1/2)^{n-1}$

j'ai trouvé

Démontrer que les suites $u_n$ ) et $v_n$ ) sont adjacentes : que peut-on en déduire ?
A l'aide de la suite $(u$ _n $v_n$ ), déterminer la limite commune des suites $u_n$ ) et $v_n$ )

merci d'avance

il y a quelqu'un ?

salut

minute, y'a pas de question dans ton post
Citation
4) Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes : que peut-on en déduire ?

A l'aide de la suite (unvn), déterminer la limite commune des suites (un) et (vn)
tu sais ce que c'est que des suites adjacentes ?

oui, deux suites Un et Vn sont adjacentes si

1)Un est croissante
2)Vn est décroissante
3)Un ≤ Vn pour tout n sur N*
4)et limite (Vn-Un)=0

ok ta condition 3) est superflue (mais souvent donnée).

bon faut commencer par montrer que $un+1≤un\small u_{n+1} \le u_n$

on fait $u_{n+1-1}$ ?

je ne comprends pas ce que tu veux dire par là

peut-être se servir de la définition de $u_{n+1}$ ?

d'ailleurs ( $u_n$ ) sera croissante et ( $v_n$ ) décroissante, à en juger par $wn≥0w_n \ge 0$ .

je ne comprend pas

comment fait on pour calculer la limite de $u$ _n $v_n$ ?

il y a quelqu'un

sers-toi du résultat de la question 3b)

comment ça ??

la suite majorante $(12)n−1\small \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ a une limite connue.

svp!!

c'est fait.

tiens, le reste du boulot est là : suites (forum ilemaths)

merci et pour la 5) tu as une idée ??

oui

$un+1×vn+1=⋯u_{n+1} \times v_{n+1} = \cdots$

et si tu appelles $y$ la limite commune à $u_n$ et à $v_n$ , alors $y^2$ sera la limite de $un×vnu_n \times v_n$ , et tu auras la réponse !

ps : c'était une boutade, le lien...

je sais pour le lien vu que c'est aussi mon topic

mais on a ni l'expression de vn ni celle de un

Zauctore

$un+1×vn+1=⋯u_{n+1} \times v_{n+1} = \cdots$

remplace avec les définitions de l'énoncé et simplifie.

j'ai (Un²Vn+UnVn²)/(Un+Vn)

et je fais quoi ensuite

il fallait simplifier par un+vn

comment?

ça fait (2UnVn)/2=UnVn ?

$2unvnun+vn×un+vn2=⋯\frac{2u_nv_n}{u_n+v_n} \times \frac{u_n+v_n}2 = \cdots$

voilà !

donc la suite est ...

UnVn ?

j'en sais rien :frowning2:

on a :

$un+1×vn+1=un×vnu_{n+1} \times v_{n+1} = u_n \times v_n$

c'est quel genre de suite, quand les valeurs pour les rangs n et n+1 sont égales ?

c'est une suite constante

donc limite de un et de vn = UnVn?

ok pour le voca

mais on ne peut pas écrire ça

par contre c'est $u1000×v1000u_{1000} \times v_{1000}$ ou bien encore... réfléchis.

La limite commune des suites Vn et Un est egale à la limite de la suite VnUn

C'est bon

non.

Ah

c'est quoi alors

regarde à 18:34 et stp stp stp : réfléchis !

La limite commune des suites Vn et Un est egale à VnUn pour n assez grand ?

ou même pour un n assez petit !

tu ne connaîtrais pas la valeur de $u_nv_n$ pour un n vraiment petit à tout hasard ?

laisse de côté l'expression "la limite commune à ..." que tu utilises mal.

U0V0=15 donc limite de Un et de Vn =15 ?