Déterminer les limites d'une fonction

Bonjour,

J'ai un devoir maison a faire pour vendredi prochain, j'ai déjà commencer mais je bloque à la troisième question, une aide me serait précieuse. Voilà l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur $mathbb{R}$ \ {2} par : f(x) = (-x² + 18x - 48) / ( 4(x -2 )).

On note C sa courbe représentative dans un repère (O;i;j)

Etudier la limite de f en 2. interpréter graphiquement le résultat.

Fait. J'ai trouvé lim f(x) = +∞ quand x tend vers $2^-$
Et lim f(x) = -∞, quand x tend vers $2^+$
Ce qui signifie que la courbe Cf admet une asymptote verticale en x=2.

Déterminer la limite de f en -∞ et en +∞.

Fait. j'ai trouvé lim f(x) = +∞ quand x tend vers -∞
Et lim f(x) = -∞ quand x tend vers +∞.

3)a. Montrez qu'il existe trois réels a, b et c tels que, pour tout x≠2 :

f(x) = ax + b + c/( x-2 )

Jai beau chercher je ne trouve jamais les bons chiffres.

b. En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique Δ.

Je connais la technique mais comme je n'arrive pas à trouver les bons chiffres à la questions précédente je ne peux répondre à celle ci.

c. Etudier la position de C par rapport à Δ.

4)a. Calculer f'(x) pour tout x de $mathbb{R}$ \ {2}.
Fait. J'ai trouvé f'(x) = ( -4x² + 16x + 48 ) / (4x - 8)²

b. En déduire les variations de f et dresser le tableau complet des variations.

Je trouve les variations suivante pour f : décroissante de -∞ à -3/2, croissante de -3/2 à 1/2, decroissante de 1/2 à 2, et décroissante de 2 à +∞.

Or lorsque je construit ma courbe sur ma calculatrice je n'obtiens pas du tout ces variations. J'ai dû me tromper quelque part mais je ne sais pas où.

Dans un repere orthonormé d'unité 1cm, tracer soigneusement les asymptotes et la courbe C.

Je ne l'ai pas encore fait vu que je pense m'etre trompée dans mon tableau de variation.

6)a. Tracer les tangente à C passant par le point K de coordonnées (0;-2)

b. Ecrire l'équation d'une tangente à C pen un point d'abscisse a quelconque ( a≠2 ).

c. Déterminer par le calcul les abscisses des points de contact des tangentes passant par K avec la courbe C.

Merci d'avance pour toutes réponses qui m'aiderais.

Bonjour,

Pour la question 3,
f(x) = ax + b + c/( x-2 )
Réduis l'expression au même dénominateur, puis identifie membre à membre les termes avec la fonction de départ.

C'est ce que j'ai fait mais mon dénominateur sera toujours (x-2) or dans ma fonction f le dénominateur est ( 4(x-2 )). Comment faire pour avoir le même dénominateur dans les deux fonctions ?

Tu dois tenir compte du facteur 1/4.

le facteur 1/4 ?

Indique les deux expressions de f(x) que tu as.

J'ai f(x) = ( -x² +18x -48)/ ( 4(x-2)) et ( ax² - 2ax + bx -2b + c )/ ( x-2)

A partir de
f(x) = ( -x² +18x -48)/ ( 4(x-2)) et ( ax² - 2ax + bx -2b + c )/ ( x-2)
tu identifies
-x²/4 = ax², soit a = ....
18x/4 = .....
....

oui c'est bon j'ai réussit, j'ai trouver a= -1/4 b=4 et c= -4

merci

Comment dois je faire pour étudiez la position de C par rapport Δ ?

Je crois qu'il faut faire f(x) - Δ mais si c'est le cas mon résultat est -4/ ( x-2) et je ne sais pas si c'est positif ou negatif.

Tu étudies le signe selon les valeurs de x.
x > 2 .....
x < 2 ....

donc si x<2 -4/ ( x-2)>0

et si x>2 -4/ ( x-2)<0. c'est ça ?

Oui, c'est juste.

merci

pour la question 4.a. j'ai fais ma dérivé et je trouve f'(x) = (-4x² +16x +48 )/( 4x-8)²
Ensuite je fais mon discriminant et je trouve Δ= 1024
et je trouve comme racines $x_1$ = 6 et $x_2$ = -2.
voici mon tableau de variation : $fichier math$

mais je crois que je me suis trompé quelque part vu que ma courbe sur ma calculatrice ne correspond pas tout a fait a ce tableau. Est ce quelqu'un pourais m'aider ? merci d'avance

C'est correct.

Mais si tout est correct comment se fait il que ma courbe ne corresponde pas a ce tableau ?

A mon avis, une erreur de programmation, un oubli de parenthèses.

je ne pense pas que ce soit une erreur de programmation, j'ai vérifié sur un logiciel spécial et je trouve cette courbe : $fichier math$

et donc la fonction ne croise pas l'axe des abscisses en -2 ni en 6, pourquoi ?

Pourquoi dis tu que ce graphique ne correspond pas au tableau de variation ?

désolé je me suis embrouillé entre les tableaux de signes et de variations, oui finalement ma courbe est bonne.

Pour la question 6)a.
Dois je tracer une tangente au point K(o;-2) au haserd ou faire un calcul.
S'il faut faire un calcul est ce f'(a)(x-a)+f(a) en remplacent le a par 0, ou est ce un autre calcul ?

Pour plus de précision pour le tracé, le calcul que tu proposes est nécessaire.

On me demande de tracer les tangentes de la courbe C passant par le point K(0;-2) or quand je fais mon calcul je ne trouve qu'une seule équation de tangente. Comment faire pour obtenir une autre équation afin de tracer une autre tangente ?

le point K n'appartient pas à la courbe, donc tu ne peux pas écrire a = 0.
Trace les deux tangentes sans calculer leur équation.

D'accord, merci.
Pour la question 6.b. on me demande d'écrire l'équation d'une tangente à C en un point d'abscisse a quelconque (a≠2). Je dois simplement marquer la formule f'(a)(x-a)+f(a) en remplacent a par n'importe quel chiffre puis calculer c'est ça ?

non,

tu laisses a mais tu remplaces f'(a) et f(a) par leur expression.

Dois je ensuite développer et réduire ?

Oui,

Tu développes et tu réduis.

en développant et en réduisant f'(a)(x-a)+f(a) c'est à dire,
[(-4a²+16a+48)/(4a-8)²] * (x-a) + [(-a²+18a-48)/(4a-8)]

J'obtiens une expressions totalement délirante avec des xa², xa³, des a² des $a^4$ , etc ...

J'ai dû faire une erreur, une telle expression ne peut pas être juste.

Pourtant je ne crois pas m'être tromper dans l'expressions a étudier. Si ?

Le calcul est juste. Tu peux simplifier la dérivée (facteur 4).

Au final je trouve (-4xa³ +24xa² +16xa -96x -16a³ +880a² -1824a -3072)/( 4a³+224a²-256a-512). Est ce bon ?

Il n'est pas nécessaire de développer le dénominateur qui reste 4(a-2)².
[(-4a²+16a+48)/(4a-8)²] * (x-a) + [(-a²+18a-48)/(4a-8)] =
[(-a²+4a+12)/(4(a-2)²)] * (x-a) + [(-a²+18a-48)/(4a-8)]

Dans ce cas au final ça fait

(-4xa³ +24xa² +16xa -96x -16a³ +880a² -1824a -3072)/ (4a-8)³ ?

Tu peux simplifier
Le dénominateur doit être 4(a-2)²

Mais 4(a-2)² et (4a-8)² sont deux nombres différent pour tout a.
(4a-8)² = 16(a-2)²

Dans ce cas et en simplifiant toute mon expression par 4, j'obtiens :

(-xa³ +6xa² +4xa - 24x -4a³ +220a² - 456a -768)/ 64(a-2)³

Si tu as suivi mes indications, les dénominateurs sont 4(a-2)² et 4(a-2)
dont le dénominateur commun est 4(a-2)²

ah oui, d'accord, du coups j'ai :

( -xa² +4xa+12x+20a²-96a+96 ) / 4(a-2)²