Etudier le signe et les variations d'une fonction

Bonjour,

Voici deux exercices ou il y a quelques points que je n‘arrive pas a éclaircir :

PARTIE A:
On désigne par g la fonction désigne sur [0;π] par g(x)= xcosx-sinx .
1_ Étudier les variations de g est dresser son tableau de variation.
2_ En déduire le signe de g(x) sur [0;π].

Pour la dérivée j'ai trouver g'(x)= -sinx -cosx
Ensuite j'ai dressé le tableau de variation, mais je n'arrive pas a prouver comment g(x) est positif sur [0;π]. Faut-il juste dire que c'est prouvé par le tableau de variation ?

PARTIE B:
On considère la fonction h définie sur [0;+∞[ par : h(x)= sinx-x+ $x^3$ /6)
1_ Calculer les dérivées successives h'(x), h''(x), h'''(x).
2-a_ Montrer que pour tout x≥0, h'''(x)≥0 . En déduire le sens de variation de h''.
2-b_ Calculer h''(0) et en déduire le signe de h''(x).
3_ Montrer que pour tout x≥0, h'(x)≥0
4_ Déterminer le signe de h(x) sur [0;+∞[.
5_ Montrer que pour tout x≥0, on a l'encadrement suivant : 0≤x≤-sinx $x^3$ /6).

J'ai réussi a calculer les 3dérivées successives, mais je ne comprend pas comment il faut démontrer la question 2-a. Et aussi je n'arrive pas a la question 5.

Merci d'avance pour vos réponses et vos aides.

Bonjour,
La partie A est traitée dans le sujet :
sujet de bac: variations d'une fonction trigonométrique.

Merci beaucoup de votre réponse, maintenant j'ai compris mes erreurs

De rien. Et pour la partie B ?

Pour la partie B j'ai trouvé les 3dérivées successives :
h'(x)=cosx-1+ 3x²/6
h''(x)= -sinx+x
h'''(x)= -cosx+1

Mais je bloque a la question <

Simplifie 3x²/6

2)a) Que sais-tu du cosinus d'un angle ? Il est
toujours...

C'est la première chose que l'on apprend quand on aborde la trigo :
Le cosinus ( et aussi le sinus ) d'un angle est compris entre ...

Donc après avoir simplifié h'(x) on a h'(x)=cosx-1+ x²/2

Le cosinus et le sinus sont toujours compris entre -1 et 1 ?
-1≤cos(x)≤1 ?

Oui, donc quel est le signe de h'''(x) sachant que cos x ≤ 1 ?

cosx est négatif ?..

Non, et ce n'est pas ma question.
h'''(x) = -cos x + 1
Or cos x ≤ 1
donc 1- cos x ...
Autrement dit h'''(x) ...

h'''(x) est négatif ?

Ben non :
cos x ≤ 1
donc 0 ≤ 1-cos x
0 ≤ h'''(x)
⇔ h'''(x) ≥ 0 : h'''(x) est positif.
Alors qu'en résulte-t-il pour h'' ?

Ah d'accord !

D'après le graph de ma calculatrice, h''(x) est négatif sur [0;+∞[ mais je ne comprend pas pourquoi ...

Je dois me déconnecter, alors je t'aide un peu plus:
h'''(x) est positif, donc h'' est croissante ( sur l'intervalle donné ).
Pour connaître son signe, calcule h''(0) : on trouve 0.
h'' est croissante et "part" de 0, donc ensuite elle est positive.
Donc h' est croissante.
Et ainsi de suite en remontant jusqu'à h.

Merci beaucoup ! J'ai réussi, par contre je ne comprend pas comment procédé pour la question 5..

Bonsoir,

Pour la question 5, utilise le résultat de la question 4.

Merci pour vos réponse, cela m'as beaucoup aidée