Etude complète d'une fonction exponentielle

Bonjour voici un exercice de math avec lequel j'ai quelque problemes, pouvez vous m'aider s'il vous plait?

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f ' sa fonction dérivée.
Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :
(1) pour tout nombre réel x, (f '(x))² −(f(x))² = 1.
(2) f '(0) = 1.
(3) la fonction f ' est dérivable sur R.

1/ a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f '(x) différent de 0.
b) Calculer f(0).

2/ En dérivant chaque membre de l'égalité de la proposition (1), démontrer que :
(4) pour tout nombre réel x, f "(x) = f (x), où f " désigne la fonction dérivée
seconde de la fonction f .

3/ On pose : u = f ' + f et v = f ' − f .
a) Calculer u(0) et v(0).
b) Démontrer que u' = u et v' = −v.
c) En déduire les fonctions u et v.
d) En déduire que, pour tout réel x, f (x) = (e^x-e^-x) / 2.

4/ a) Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction f .

5/ a) Soit m un nombre réel. Démontrer que l'équation f (x) = m a une unique solution α dans R
b) Déterminer cette solution lorsque m = 3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à 10^-2 près )

Voila le début de mon raisonnement

a) (f'(x))² - (f(x))² = 1
(f'(x))² = 1 + (f(x))²
d'où (f'(x))² ≥ 1
d'où f'(x) ≥ 1 ou f'(x) ≤ -1
donc f'(x) ≠ 0

b) On a f '(0) = 1.
Pour tout x de R : (f '(x))² - (f(x))² = 1.
Si x = 0 alors (f '(0))² - (f(0))² = 1
ssi 1 - (f(0))² = 1
ssi f(0) = 0.

[(f '(x))² - (f(x))²]' = (1)' = 0.
ssi [(f '(x))²]' - [(f(x))²]' = 0.
ssi 2f '(x)f "(x) - 2f(x)f '(x) = 0.
ssi 2f '(x) [f "(x) - f(x)] = 0 puisque f '(x) different de 0 alors, f "(x) - f(x) = 0
ssi f "(x) = f(x).

3/ a) u(0) = f '(0) + f(0) = 1 + 0 = 1.
v(0) = f '(0) - f(0) = 1 - 0 = 1.

b) u = f ' + f
si u' = (f ' + f)' = f " + f ' = f + f ' = u (car f " = f ).
v = f ' - f
si v' = (f ' - f)² = f " - f ' = f - f ' = - (f ' - f) = -v.

Pouvez vous me dire si le début de mon raisonnement est correcte s'il vous plais et m'aider pour la suite merci par avance

Bonjour,

le début est correct
c) Résous l'équation différentielle u' = u puis v' = -v

Justement pour la question c je ne sais pas comment m'y prendre pouvez vous me donner une piste?

Comment tu résous une équation différentielle ?
u' = u

Ou quelle fonction vérifie u' = u ?

bonjour, j'ai réfléchi a votre question est j'ai trouver cela :

d'après (1) : (f'(x))² - (f(x))² =1
ssi (f'(x) - f(x)) (f'(x) + f(x) =1

d'où u'=u
u(0) =1
donc u(x)= (exp)

v'=-v
v(0) =1
donc u(x)= -(exp)

u(x) = exp(x) = $e^x$
et v(x) = $exp(-x)=e^{-x}$

merci beaucoup et donc pour la question suivante je dois me servir de u et de v pour pouvoir le démontrer?

Oui,

Utilise les relations de u et v en fonction de f et f' pour déterminer l'écriture de f.

Voici se que j'ai trouvé

Comme on vient de le démontrer au dessus u(x) = e^x et v(x)= e^-x
u et v sont dérivables sur R car la fonction exponentielle est dérivable sur R
Donc pour tout x de R, f(x) = [u(x)-v(x)] / 2
= [e^x - e^-x] /2

C'est correct.

merci par contre depuis pas mal de temps je cherche comment faire pour trouver les limites mais je ne sais pas comment m'y prendre etant donné que c'est une forme indéterminée.

Pourquoi forme indéterminée ?

car on a e^x - e^-x

mais si x tend vers +∞
$e^x$ tend vers +∞ et
$e^{-x}$ tend vers 0+
et +∞ - 0 donne +∞

je ne comprends pas pourquoi e^-x tend vers 0+

Quelles sont les limites de $e^x$
si x tend vers +∞ ?
si x tend vers -∞ ?

ah oui
si x tend vers +∞ c'est +∞
et si x tend vers -∞ c'est 0

Mais quand c'est pour -∞ on se retrouve avec e^x - e^-x ce qui fait -∞ +∞

Non

quand c'est pour -∞ on se retrouve avec e^x - e^-x ce qui fait 0+ -( +∞)

comment peut on le sacoir pour e^-x ? je ne vois vraiment pas

comment peut on le sacoir pour e^-x ? je ne vois vraiment pas

$e^{-x}$ = $1/e^x$

ah oui merci beaucoup