Comment appliquer le principe de la bijection


  • S

    Bonjour à tous,

    j'ai une question d'un DM qui me pose problème :
    Citation
    $soit:f:la:fonction:d\acute{e}finie:sur: \mathbb {r} \math : par: 😕 f(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}$
    $\mathbf{question : :}: f: r\acute{e}alise-t-elle: une: bijection: de: \mathbb {r}: \math dans: \mathbb {r} \math : ?$

    J'ai bien compris le principe de la bijection, mais je n'arrive pas à l'appliquer en pratique ... Je doit vraiment être pas doué ...

    Bref, si une bonne âme voudrait bien m'expliquer comment fonctionne la bijection ici 😄

    Merci d'avance 😉


  • Zauctore

    Bonjour

    regarde peut-être du côté de sa dérivée


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Indique tes éléments de réponse.
    Comment démontre t-on qu'une fonction réalise une bijection ?


  • S

    Ben pour l'instant j'ai observé que f est continue sur IR et strictement croissance sur IR (donc monotone).

    S'il y a bijection alors
    A partir de f(x)=ex−e−x2f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}f(x)=2exex
    donc y=ex−e−x2y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}y=2exex (car f(x)=yf(x)=yf(x)=y)

    j'ai déterminé x=ln⁡(x)−ln⁡(−x)2x=\frac{\ln {(x)}-\ln {(-x)}}{2}x=2ln(x)ln(x) (je ne suis pas sûr du résultat)
    par conséquent f−1(x)=ln⁡(x)−ln⁡(−x)2f^{-1}(x)=\frac{\ln {(x)}-\ln {(-x)}}{2}f1(x)=2ln(x)ln(x) (car f−1(y)=xf^{-1}(y)=xf1(y)=x)

    Or comme il y a présence de la fonction ln dans f−1f^{-1}f1 la bijection est réalisée de r\mathbb {r}r dans $\mathbb {r} \math ^{*}_{+}$.

    C'est ce que j'ai trouvé mais je ne pense pas que ce soit juste.

    Je sais qu'il existe un moyen de déterminer la bijection à l'aide de la dérivée de f (ici f′(x)=f(x)f'(x)=f(x)f(x)=f(x)) à l'aide d'un tableau de variation mais je ne sais pas comment il faut procéder.


  • N
    Modérateurs

    Non f'(x) n'est pas égal à f(x)

    Calcule la dérivée f' et cherche le signe de f'(x).


  • S

    Merci pour ta réponse. J'obtiens :

    On determine la dérivée de f :

    f′(x)=(ex−(−1×e−x))2−(ex−e−x)022 f′(x)=ex+e−x2f'(x)=\frac{(e^{x}-(-1\times e^{-x}))2-(e^{x}-e^{-x})0}{2^{2}}\ f'(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}f(x)=22(ex(1×ex))2(exex)0 f(x)=2ex+ex

    on en déduit le tableau suivant :
    $\large \begin{tabular} {|c|c|} \hline & -\infty ::::::::::::+\infty \ \hline :signe:de:e^{x}:& + \ \hline :signe:de:e^{-x}:& + \ \hline :donc:signe🇩🇪f':& + \ \hline :variation:de:f: & \nearrow \ \hline \end{tabular}$

    A partir de là je peux en déduire que f est strictement croissante sur IR et continue, mais je ne vois pas comment faire pour dire qu'il y a bijection de IR dans IR ...


  • N
    Modérateurs

    C'est une propriété :
    Si une fonction f est dérivable sur R et si pour tous x de R, f'(x) >0, alors f est une bijection de R sur R.

    Vérifie sur ton cours.


  • S

    ça marche 😄 Merci beaucoup pour ton aide !


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