dérivé et variation d'une fonction.

De nouveau j'ai besoin de votre aide merci d'avance.

J'ai du mal avec une une fonction dont on me demande d'étudier le sens de variation sur [0;+∞[.
La fonction est la suivante :

$\frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}x$

je trouve la dérivée suivante que je n'arrive pas a calculer et étudier le signe:

$\frac{,\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}},}x - \frac{\sqrt{,1+x^2},}{x^2}$

Pouvez vous me dire si cela est juste et comment faire pour la suite ?

Merci

Bonjour mad

1° Lorsque tu dérives $1+x2\sqrt{1+x^2}$ comment t'y prends-tu ?

2° As-tu considéré que f(x) est un quotient u/v dans le choix de la formule de dérivation ?

Apparement j'avais du mal noté la dérivée que je trouve car tu la corrigé différement.

J'ai bien concidéré un quotient de u/v

Et j'ai trouvé 1/(2√(1+x^2)) pour la dérivée de √(1+x^2)

Pour la dérivée finale je trouve :

f'(x)=[ (1/(2√(1+x^2)))*x - (√(1+x ^2)-1)] / x^2

oui : la présence des crochets change tout ; tu proposes donc

$\frac{, \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \times x - \left(\sqrt{1+x^2}-1\right),}{x^2}$

hum...

ta dérivée pour √(1+x^2) est fausse, car (x^2)' = 2x.

n'oublie pas que $(u)′=u′2u(\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}$

Effectivement tout est tellement plus simple quand on ne fait des erreures aussi grosse que celle là.

Donc si je ne me trompe pas sa nous fais une dérivée :

f'(x) = [ -1+√(1+x^2) ] / [ x^2(√(1+x ^2)) ]

Et après le signe et la variation de f ce déduis facilement.

Merci bcp