Démontrer par récurrence une propriété sur une suite

[lilouta]

Bonjour,
Voici un exercice sur les suites que j'ai trouvé sur internet, il y a également un corrigé disponible mais je ne le comprend pas :

On considère la suite (Un) avec n∈N définie par :
Uo = 1
$U_{n+1}$ = (1/3)*Un + n - 2

1. Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$
   ça c'est bon

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel n≥4, $U_n$≥0
   Voilà ce que j'ai essayé de faire

*On veut démontrer par récurrence que
pour tout entier naturel n≥4, $U_n$ ≥ 0

*Ini : $U_4$ = 67/81

*Héré : On suppose que $U_n$ ≥ 0
et démontrons que $U_{n+1}$ ≥ 0

Un ≥ 0
$(1/3)U_n$ + n - 2 ≥ n-2

Mais là je bloque pour la suite
Si quelqu'un pouvait m'aider

Merci d'avance

[Noemi]

Bonjour,

n>4, donc n - 2 .....
$U_n$≥0
donc
$U_{n+1}$ .....

[lilouta]

n ≥ 4
n-2 ≥ 2

et $U_n$ > 0
$U_{n+1}$ > 0
??

[Noemi]

Tu utilises :

$U_{n+1}$ = $(1/3)\ast U_n$ + n - 2

[lilouta]

$U_n$ ≥ 0
$U_{n+1}$ ≥ n - 2 ≥ 2
$U_{n+1}$ ≥ 2 > 0

On a donc démontré par recurrence que $U_n$ ≥ 0 pour n ≥ 4 .
Est-ce correct ?

[Noemi]

Non,
$U_{n+1}$ = $(1/3)\ast U_n$ + n - 2
$U_n$≥0
n≥4, alors n-2 ≥ 2 donc n-2 ≥ 0
soit
$(1/3)\ast U_n$ + n - 2 .....
donc
$U_{n+1}$ .....

[lilouta]

$(1/3)\ast U_n$ + n - 2 ≥ 0
$U_{n+1}$ ≥ 0 (par addition)

??

[Noemi]

C'est correct.