Intégrales



  • Bonsoir,
    je bloque sur un exo d'intégrales, pouvez-vous m'aider :
    voici l'énoncé :

    Pour tout entier naturel n, on considère l'intégrale InI_n = ∫$$^e$_1$ (ln x)nx)^n dx

    1. a. Démontrrer que pour tout x dans l'intervalle ]1 ; e] et pour tout n entier naturel, on a :
      (ln x)nx)^n - (ln x)n+1x)^{n+1} > 0
      pour cette question, pas de problème

    b. En déduire que la suite (In(I_n) est décroissante.
    Là aussi pas de problèmes

    1. a. Calculer I1I_1, à l'aide d'une intégration par parties.
      Là j'ai trouvé : I1I_1 = 1 , pouvez-vous vérifiez mon résultat

    2)b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout n appartenant NN^* :
    In+1I_{n+1} = e - (n+1)In(n+1)I_n
    Là ça se complique : voici ce que j'ai commencé à faire :

    In+1I_{n+1} = ∫$$^e$_1$ (ln x)n+1x)^{n+1} * 1 dx

    On pose u' = 1 d'où u = x
    et v = (ln x)n+1x)^{n+1} d'où v' = (n+1) * (ln x)nx)^n

    Ceci donne :
    In+1I_{n+1} = [x * (ln x)x)^{n+1}]]^e1_1 - ∫$$^e$_1$ x * (n+1) * (ln x)nx)^n dx

    Mon problème c'est que je n'arrive pas à calculer ce qu'il y a entre crochet :
    [x * (ln x)x)^{n+1}]]^e1_1
    = e * ln * en+1e^{n+1}
    = e * 1n+11^{n+1}
    je crois que j'ai fais n'importe quoi pour le calcul entre crochet...

    Merci d'avance pour votre aide


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Une erreur dans le calcul de v'.



  • v = (ln x)n+1x)^{n+1} d'où v' = (n+1) * (ln x)nx)^n * (1/x)

    j'avais oublié 1/x

    et là.....


  • Modérateurs

    C'est correct.



  • Commen fait-on pour prouver l'existence d'une primitive ? .


  • Modérateurs

    Applique le théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I, admet une primitive sur cet intervalle.



  • Merci



  • Esce- possible de trouver qu'une primitive est égale a 0 ?


  • Modérateurs

    Tu peux trouver une primitive qui s'annule pour une valeur de x donnée.



  • Ah, parce que j'ai sa a faire :

    on a f(x)=exf(x)=e^x sin (2t) et F(x)= ∫x^x 0_0 f(t)dt

    Calculer F(x)

    Alors, on a f(t)= u'(x) v(t)
    avec u'(t)=et(t)=e^t et v(t)=sin(2t)

    donc, en utilisant une integration par parties,
    F(x)= [u(t) v(t)]xv(t)]^x 0_0 - ∫x^x 0_0u(t) v'(t)
    = [et[e^t sin(2t)]xsin(2t)]^x 0_0 - ∫x^x 0_0 ete^t 2cos2t
    =(ex=(e^x sin2x - e0e^0sin 2x0) - [et[e^t sin2t]xsin2t]^x 0_0
    =(ex=(e^x sin2x - e0e^0sin 2x0) - (ex(e^x sin2x - e0e^0sin 2x0)
    =0


  • Modérateurs

    c'est ∫ ete^t 2cos2t qui est fausse.



  • J'ai trouvé mon erreur, alors j'ai réintégrer par parties ∫ ete^t 2cos2t

    Et a la fin de mon calcul, je trouve F(x) = exe^x* sin2x -4


  • Modérateurs

    Je ne trouve pas le même résultat.

    Indique tes calculs.



  • f(t) = u'(t) x v(t)
    avec u'(t)= ete^t et v(t)= sin(2t)

    donc F(x)= [u(t)v(t)][u(t)v(t)]^x0_0 - ∫$$^x$_0$ u(t) v'(t)
    = [et[e^t sin2t ] $$^x$_0$ - ∫$$^x$_0$ ete^t 2cos2t
    = (ex(e^x sin2x - e0e^0 sin2*0

    Ensuite on réintegre ∫$$^x$_0$ ete^t 2cos2t :

    on pose u'(x)= ete^t u(x)= ete^t
    et v(x)= 2cos2t v'(x)= -4sin2t

    $$^x$_0$ u'(x) v(x) dx= [u(x)v(x)][u(x)v(x)]^x0_0 - ∫$$^x$_0$ u(x)v'(x) dx
    = [et[e^t 2cos2t]2cos2t]^x0_0 - ∫$$^x$_0$ ete^t * (-4sin2t) dx
    = (ex(e^x 2cos2x - e0e^0 2cos2*0) - [et[e^t 2cos2t]2cos2t]^x0_0
    = (ex(e^x 2cos2x - 2cos0) - (ex(e^x 2cos2x - 2cos0)
    = exe^x 2cos2x -2 - exe^x 2cos2x -2
    = -4

    Si on rajoute les deux, on a F(x)= exe^x sin 2x -4


  • Modérateurs

    Tu as fait la même erreur
    ete^t * (-4sin2t) dx n'est pas immédiate c'est à un coefficient prêt l'intégrale du départ.



  • Il faut donc la réintégrer par parties ?


  • Modérateurs

    Non, tu écris que c'est -4F(x) et tu fais passer ce terme à droite ce qui te donne
    5F(x) = .....



  • Donc si je le passe de l'autre coté, et en regroupant mes calculs, je trouve 4F(x)= exe^x sin2x - exe^x2cos2x- 2 ?

    Non .. j'ai du me tromper, mais ce calcul est tellement brouillon ...


  • Modérateurs

    Je trouve :
    5F(x)= exe^x sin2x - 2ex2e^xcos2x+ 2

    Vérifie.



  • je vérifie et je te dis


 

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