Les MystèRes de R

Salut,

Allez à mon tour de poser une petite énigme.

Je vous propose un petit problème concernant les nombres rééls.

L'énoncé est très simple :

Soit 4 nombres rééls (appartenant donc à l'ensemble R) :

a = 0,99
b = 0,9999999999
c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
d = 1

Le but du problème consiste à comparer 2 à 2 chacun de ses 4 rééls et d'en donner une démonstration.

C'est-à-dire de remplacer tous les ? ci-dessous par le signe <, > ou = :

a ? b
a ? c
a ? d
b ? c
b ? d
c ? d

N'oubliez surtout pas les démonstrations de vos propositions... moi je ne crois que ce qui est préalablement démontré.

Et voilou !!

Allez à vous de jouer...

Eh bien personne ne trouve...Voilà !

Je dirais plutôt que ça n'intéresse personne... :frowning2:

Je vais attendre encore quelques jours avant de donner la réponse.

Salut.

Je reprends tes nombres:

a = 0,99
b = 0,9999999999
c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
d = 1

Je crois que comparer a, b et c ou bien a, b et d est trivial.

Le problème se situe entre c et d. Vu que je connais la réponse et la démonstration, je me tais. Je laisse les autres répondre.

Mon post ne sert qu'à concentrer les recherches des mathforeurs sur le point épineux.

@+

Bonjour, je dirai que c=d :
Soit c=0.999(infinité)
10c=9.999(infinité)
dc 10c-c=9.999...-0.999=9
d'où 9c=9
et enfin c=d=1
cqfd
Est-ce juste ?
Ps: pour le reste rien de compliqué.
A+

Bravo, c'est bien ça. Ta démonstration est correcte.

Voici la solution détaillée :

Soient :
a = 0,99
b = 0,9999999999
c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
d = 1

Prop.1) a < b

Démo. :
b - a = 0,9999999999 - 0,99 = 0,0099999999 > 0
donc b - a > 0
et b > a
CQFD

Prop.2) b < c

Démo. :
c - b = 0,99... - 0,9999999999 = 0,000000000099... > 0
donc c - b > 0
et c > b
CQFD

Corollaire 1) a < b < c

Prop.3) b < d

Démo. :
d - b = 1 - 0,9999999999 = 0,0000000001 > 0
donc d - b > 0
et d > b
CQFD

Corollaire 2) a < b < d

Prop.4) c = d

Démo. 1:
c = 0,99...
10c = 9,99...
10c = 9 + 0,99...
10c = 9 + c
9c = 9
c=1
c=d
CQFD

Démo. 2: (pour ceux qui ne seraient pas encore convaincus...)
(c+d)/2 = (0,99... + 1) / 2
= 1,99... / 2
= 0,99..
= c
donc
(c+d)/2 = c
c+d = 2*c
d=c
CQFD

Et voilou...

@+

PS : J'ai voulu souligner les "Démo. :" mais ça buggue encore :frowning2: Tant pis...

PS 2 : Arfff !!! C'est le gras qui buggue maintenant pour les derniers "Prop.".. GRRR !!!

0,999...=1 : elle est excellente !
De la même manière j'ai démontré que 1,999...=2.
Avec un raisonnement par récurrence : N,9999...=N+1
Ou encore : 0,39999...=0,4

C'est logique finalement, mais tellement inattendu : c'est vrai que je n'avais au départ prêté aucune attention à cette énigme.

PS : oui d'accord madvin c'est vrai il y a des bugs, mais faut pas s'ennerver pour çà ...

Désolé de m'être énervé, mais au départ ca avait bien marché c'est pour ça !! Alors je comprend rien et ça m'énerve... :razz:
Bon de toute façon c'est pas très grave...

En ce qui concerne l'énigme, oui il y a une infinité de cas comme celui-ci... Tout réél contenant une suite infinie de 9 est égal à un autre réél ayant une partie décimale finie.

Cela vient du fait que l'on ne peut pas trouver de réél e tel que 0,99... < e < 1. Or une des propriétés de l'ensemble R est qu'il existe toujours un réél compris entre 2 autres rééls. C'est à dire que pour 2 rééls a et b, a < b, on peut toujours trouver un réél c tel que a < c < b. Or, c = (a+b) / 2 est un de ces rééls. Et ma 2ème démo montre bien que cette formule ne donne pas de nouveau réél. Donc forcément a=b dans ce cas là.

C'est vrai que la première fois qu'on voit ça, ça peut paraître bizarre, mais en tout cas c'est tout à fait correct...
Et puis apparemment pas mal de personnes la connaissaient déjà.

@+

Voilà, t'as plus qu'à proposer une autre énigme maintenant...Voilà !