Trouver un encadrement pour une expression comportant des exponentielles

bonjour

je me bloque dans cet exercice

j'ai montré que pour tout réel x ≥ 0 on a

0 ≤ exp(x)-1 ≤ x exp(x)

Maintenant il faut en déduire que pour tout réel x≥0

0 ≤ exp(x)-1-x ≤ (x²/2) exp(x)

j’ai commencé par multiplier par x de chaque coté (x étant positif le sens de l'inégalité ne change pas) , ensuite au milieu il y a du xe^x qui apparaît

0 ≤ xe(x)-x ≤ x²e(x)

je me bloque là

si je remplace xe(x) par e(x)-1 car c'est inférieur je trouve
0 ≤ e(x)-1-x ≤ x²e(x) alors que il faut montrer
0 ≤ e(x)-1-x ≤ (x²/2)e(x)
merci

Edit : bonjour l'orthographe ! + insertion des "bons" symboles d'ordre, NdZ

Bonjour,

Aujourd'hui , je dois manquer d'imagination...

Je n'ai pas "vu" l'astuce pour démontrer la seconde double- inégalité en partant de la première...

Eventuellement , une démonstration directe fonctionne bien.

Je te donne des pistes ( bien que ce ne soit pas exactement la question que tu poses )

a) Pour prouver que pour x ≥ 0 $\text{\fbox{e^x-1-x \ge 0}$

Soit g(x)=e^x-1-x donc g'(x)=e^x-1

Pour x ≥ 0 , g'(x) ≥ 0 donc g croissante . Vu que g(0)=0 , on obtient g(x) ≥ 0 , d'où la réponse.

b) Pour prouver que pour x ≥ 0 : $\text {\fbox{e^x-1\le \frac{x^2}{2}e^x}$
Même idée.

Soit $\text{h(x)=e^x-1-\frac{x^2}{2}e^x}$

Tu calcules h'(x) , h"(x)

Tu as h(0)=h'(0)=h"(0)=0

En partant de h": h"(x) ≤ 0 donc h' décroissante ; vu que h'(0)=0 , h'(x)≤0 donc h décroissante et vu que h(0)=0 , h(x) ≤ 0 , d'où la réponse.