Calculer des produits scalaires dans un tétraèdre

Bonjour,
Je viens à peine de recommencer les produits scalaires et je suis déjà complétement perdue ...

ABCD est un tétraèdre tel que : AB=AC=AD=4 et BC=CD=DB=3.
I et J sont les milieux respectifs des arètes [BC] et [CD].

a) Dessiner une figure.
b) Calculer le produit scalaire $ab⃗.ac⃗\vec{ab} . \vec{ac}$
c) Calculer les produits scalaires $ca⃗.cb⃗\vec{ca} . \vec{cb}$ et $ca⃗.ci⃗\vec{ca} . \vec{ci}$
En deduire la longueur de AI
d) Calculer le produit scalaire $ai⃗.aj⃗\vec{ai} . \vec{aj}$
En deduire l'arrondi au degré de l'angle $iaj^\hat{iaj}$

Merci.

Bonjour,

J'espère que tu as fait la figure.

Piste pour démarrer :

$\text{\vec{ab}.\vec{ac} = (\vec{ai}+\vec{ib}).(\vec{ai}+\vec{ic})= (\vec{ai}+\vec{ib}).(\vec{ai}-\vec{ib})=ai^2-ib^2$

Tu connais IB

IB=1.5

Tu calcules AI² avec le théorème de Pythagore dans un des triangles rectangles ( ABI ou AIC )

Tu continues.

Bonjour,

Oui j'ai fait une figure.

J'ai trouvé $ab⃗.ac⃗=11.5\vec{ab} .\vec{ac}= 11.5$

Aprés j'ai essayé de continuer, j'ai trouvé $ca⃗.cb⃗=8.20\vec{ca} .\vec{cb}= 8.20$

OK pour :

$\text{\vec{ab}.\vec{ac}=11.5$

Indique le calcul que tu as fait pour $\text{ \vec{ca}.\vec{cb}$

$ca⃗.cb⃗=(ci⃗+ia⃗).(2ci⃗)\vec{ca}. \vec{cb} = (\vec{ci}+ \vec{ia} ) . (2\vec{ci} )$

Oui mais 8.2 est inexact.

Tu devrais trouver 4.5

( Tu pourrais aussi utiliser la projection sur (CB) et tu trouverais aussi 4.5 )

anne-so'
$ca⃗.cb⃗=(ci⃗+ia⃗).(2ci⃗)\vec{ca}. \vec{cb} = (\vec{ci}+ \vec{ia} ) . (2\vec{ci} )$

$ca⃗.cb⃗=(ci⃗+ia⃗).(2ci⃗)\vec{ca}. \vec{cb} = (\vec{ci}+ \vec{ia} ) . (2\vec{ci} )$
$ca⃗.cb⃗=(2ci⃗)2\vec{ca}. \vec{cb} = (2\vec{ci} )^2$
$ca⃗.cb⃗=2×(1.5)2\vec{ca}. \vec{cb} = 2 \times (1.5)^2$
$ca⃗.cb⃗=4.5\vec{ca}. \vec{cb} =4.5$

Mais je comprend pas où passe $ia⃗\vec{ia}$

Je vais essayer de faire la suite et je post mes résultats sur le forum.

$\text{\vec{ia} et \vec{ci}$ sont orthogonaux , donc leur produit scalaire vaut 0

Merci de votre aide, je pense avoir réussi a finir.

J'ai trouvé :

$ca⃗.ci⃗=94\vec{ca}.\vec{ci} = \frac{9}{4}$

$ai⃗.aj⃗=1018\vec{ai}.\vec{aj} = \frac{101}{8}$
$ai⃗.aj⃗=12.625\vec{ai}.\vec{aj} = 12.625$

Pour l'angle j'ai utilisé le théorème d'Al Kashi :
$iaj^=23∘\hat{iaj} = {23^\circ}$

OK pour $\text{\vec{ca}.\vec{ci}$

Pour $\text{\vec{ai}.\vec{aj}$ , ton résultat me semble un peu incertain.

Donne ton calcul si tu veux une vérification.

$ai⃗.aj⃗=12(ai2+aj2−ij2)\vec{ai} .\vec{aj}=\frac{1}{2} (ai^2+aj^2-ij^2)$

$ai⃗.aj⃗=12[(554)2+(554)2−(12×db)2]\vec{ai} .\vec{aj}= \frac{1}{2}[(\sqrt{\frac{55}{4}})^2+(\sqrt{\frac{55}{4}})^2-(\frac{1}{2}\times db)^2]$

$ai⃗.aj⃗=12[554+554−(1.5)2]\vec{ai} .\vec{aj}= \frac{1}{2}[\frac{55}{4}+\frac{55}{4}-(1.5)^2]$

$ai⃗.aj⃗=6.875+6.875−1.125\vec{ai} .\vec{aj}= 6.875+6.875-1.125$

$ai⃗.aj⃗=1018\vec{ai} .\vec{aj}= \frac{101}{8}$

$ai⃗.aj⃗=12.625\vec{ai} .\vec{aj}= 12.625$

Tout est OK ( même l'angle ) !

Merci, bonne journée !