Problème d'optimisation



  • Bonjour j'ai un probleme avec un exercice de math que je ne comprend pas

    On veut déterminer un rectangle d'un jardin situé près d'une rivière pour réaliser un potager. On dispose de 100m de grillage et on souhaite que l'aire du potager soit la plus grande possible.

    Cas1 : Le potager n'a pas de coté commun avec la rivière.

    1. Soit x l'une des dimensions du terrain rectangulaire de périmètre 100
      Exprimer l'aire de ce terrain en fonction de x uniquement.
      2.On considère la fonction f, définie sur [0;50] , qui a pour dimension de x du terrain rectangulaire associe son aire, telle que f(x)=-x²+50x

    a) Justifier le choix de [0;50] comme ensemble de définition de la fonction f
    b)Faire tracer par la representation graphique de f
    Quel semble être le maximum de la fonction f? pour quelle valeur de x est-il obtenu ?

    a) Prouver que,pour tout nombre réel x on a f(x)=-(x-25)²+625
    b)Quelle est la plus grande valeur de -(x-25)²? pour quelle valeur de la variable x est elle obtenue?
    c) Déduire les dimensions du terrain rectangulaire.Quelle est la particularité de ce terrain d'aire maximale?

    Cas2: Le potager a un coté commun avec la riviere.

    1. Soit x la dimension des deux cotés du terrain rectangulaire perpendiculaire à la rive de la rivere.
      Exprimer l'aire de ce terrain en fonction de x uniquement.

    2. soit la fonctiong definie sur [0;50], qui a la dimension x du terrain associe son aire, telle que g(x)=-2x²+100x
      Tracer la representation graphique de g
      b)Quel semble etre le maximum de la fonction g? pour quelle valeur de x est-il obtenu?
      3.a) Prouver que , pour tout nomre réel x on a g(x)=-2(x-25)²+1250
      c) déduire les dimensions du terrain rectangulaire.
      d) Donner une justification géométrique du fait que l'aire dans le cas 2 est le double de celle du cas 1.


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Tu ne dis pas ce que tu ne comprends pas...

    Je te donne une piste pour démarer le cas 1

    1. Soit x l'une des dimensions du rectangle et y l'autre dimension.

    2x+2y=100 donc 2y=100-2x donc y=50-x

    L'aire du rectangle est donc x.y=x(50-x)=50x-x=-x²+50x

    1. f(x) représente l'aire du rectangle

    a) Chaque dimension doit être positive

    x≥0
    y≥0 <=> 50-x≥0 <=> -x≥-50 <=> x≤50

    Donc :0≤x≤50 d'où l'intervalle annoncé.

    Tu continues.


 

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