Résoudre par uns construction géométrique une équation du second degré

Bonjour
alor voila le debut de mon exercice
si quelqu'un peut m'aider a me mettre sur la voie je le remercie d'avance

On se propose de résoudre par une construction geometrique tte equation du second degré.
Soit ax^2 +bx+c=0.
Dans un repere(O ; i $→^\rightarrow$ , j $→^\rightarrow$ ) orthonormal,
on place les pts I,A,B,C definis par:
OI $→^\rightarrow$ = i $→^\rightarrow$
IA $→^\rightarrow$ = a i $→^\rightarrow$
AB $→^\rightarrow$ = b j $→^\rightarrow$
BC $→^\rightarrow$ = -c i $→^\rightarrow$

A tout point P de coordonnées (o,(alpha)),
on associe le point N de la droite (BC) construit de la façon suivante :
la droite (PI) coupe (AB) en un point M ;
la perpendiculaire en M à (PM) coupe (BC) en N.

calculer les coordonnées de M puis celles de N.

Je n'ai jamais eu d'exo de ce type si on pouvait me mettre sur voie.
Merci

Salut et bienvenue, Elise.

Il me semble que :

1° M est sur (AB), alors M(a+1 ; $y_M$ );

2° la droite (PI) a pour équation : y = -(alpha)x + (alpha)
donc $y_M$ = -(alpha)(a+1) + (alpha) = -a(alpha).

le repère est orthonormal, donc en particulier ||i $→^\rightarrow$ || = 1.

exact j'avais trouvé et pourquoi sur l'équation -(alpha)

le coefficient directeur, Elise...
pour y = u x + v
u = $y_P$ - $y$ _I $x_P$ - $x_I$ )
ça te rappelle rien, (delta)y/(delta)x ?

ba en effet aprés reflexion c'est ce qui me semblait mais je préferait etre sur par contre le hic c pour les coordonnées de N ca commence par xm=-c+1 mais il manque BN

déjà, on a $y_N$ = b

oui dc pour xn il faut se servir des equations de droite aussi

Bon alors j'ai un début de truc, mais c'est pas très beau...
C'est une histoire de triangles rectangles semblables.

Tu dois pouvoir montrer que les angles OIP (sommet I), AIM (sommet I) et BMN (sommet M) sont égaux.
Avec par exemple la tangente de cet angle, tu aboutis à
OP/OI = BN/MB.
Il me semble qu'on peut en tirer BN, et donc ON ; ça me paraît un peu tortueux...

ici, ily a une erreur sur ON, voir plus bas

c'est trés tortueux (de plus moi et les tangentes...)
et quel est la rapport avec les equations et inéquations ?

Minute, petit scarabée !
Après calcul, (MB = b + a(alpha), BN = (alpha) (b + a(alpha))...)
on arrive à ON = OB + BN = a(alpha)² + b (alpha) + a + 1.

ici il y a une erreur sur ON, voir plus bas

Pour la question 2 (j'ai ton énoncé sous les yeux), dire que N est confondu avec C se traduit par ON = OC et donc
a(alpha)² + b(alpha) + a + 1 = a + 1 - c
c'est-à-dire
a(alpha)² + b(alpha) + c = 0.
Voilà le lien que tu attends !

ici, il y a une erreur sur ON, voir plus bas.

Je comprends la difficulté : ça n'a pas été si facile pour moi !
Bon alors j'essaie de reprendre :

tu vois que les triangles POI et MAI sont rectangles,
et que les angles OIP (sommet I), AIM (sommet I) sont égaux, car opposés par e sommet ;
le triangle MNB est lui-aussi rectangle, et l'angle BMN (sommet M) est égal à l'angle AIM (sommet I) - c'est le seul truc un peu dur à voir.

tu as mon exo sous les yeux?mais ca fait quoi les coordonnées de N dc car j'arrive pas a faire les angles

je t'ai donné ON, c'est à dire $x_N$ à 20:22,
et $y_n$ = b.

ici il y a une erreur sur ON, voir plus bas

ah daccord et pourquoi avec BN on trouve ON
tu reste connecté jusqu'a quelle heure ?

(évite la syntaxe SMS, s'il te plaît) *

je reprends... quand tu te seras convaincue que les angles dont j'ai parlé avant sont égaux, leur tangente est
OP/OI = MA/IA = NB/MB
dans chacun des triangles ; l'égalité utile est OP/OI = NB/MB.

Ah pardon (mea culpa !) : ce n'est pas ON : je regardais ça sur la droite (BN).
Remplace OB par OA segment qui lui est égal - ouais enfin je me comprends je parlais de
$x_N$ = OA + BN. Mais en fait ça change rien, on a

$x_N$ = a (alpha)² + b(alpha) + a + 1.

dc N(a+1;b)et M(a+1;(alpha)a)

Non : N(a+1 + BN ; b)
c'est pour ça que je voulais calculer BN
et BN, c'est a(alpha)² + b(alpha).

comment on sait que BN=a(alpha)^2 +b(alpha)

avec mes histoires de tangente, tu as
OP/OI = NB/MB
c'est-à-dire
(alpha) = NB/(b + a(alpha)).

j'avais trouvé ouais je suis pas si nulle que ça enfin
reprenons dc M(1+a;(alpha)a) et N(a(alpha)² +b(alpha)+a+1)

pour ym c'est -(alpha) ou (alpha)

j'ai trouvé $y_M$ = -a(alpha), il me semble...

pour la 3, c'est tout simple : un théorème de 4e te dit que lorsque IMN est un angle droit, alors M est sur le cercle de diamètre [IN]... n'est-ce pas ? Alors, lorsque N est en C, etc... je te laisse finir.

P(0 ; (alpha)) et a(alpha)² + b(alpha) + c = 0 pour le lien entre l'ordonnée de P et l'équation.

lorque N est en C, M est tjrs sur le cercle mais quelle est la suite du theoreme dont tu me parle de plus comment decrire la facon de construire les points P il n'y en a qu'un non?

le théorème de 4e : l'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle. tu peux aller lire ce condensé de cours, réalisé (avec peine) pour combler tes trous de mémoire !

On commencera par tracer le point d'intersection du cercle de diamètre [IC] avec la droite (AB) - ce qui donne 0, 1 ou bien 2 solutions. Ce seront les points M. Alors la droite (MI) coupera (Oy) en P.
Réfléchis à cela.

d'accord ca j'avais bien compris IN etait le diametre mais pourquoi M est sur le cercle

Théorèmes triangles et cercles... cf le cours dont j'ai donné le lien ici-dessus. Car l'angle IMN (sommet M) est DROIT.

il n'y a qu'un pt M pourquoi 2 pts M

un cercle est parfois coupé en deux points par une droite...
t'es toujours autant fâchée avec la géométrie !

tjrs autant faché ça je te le fais pas dire c'est même de pire en pire a je viens de comprendre les deux points issu de (ab) sur le cercle sont les points M

mais on demande les points P et non les points M de plus qu'elle est cette methode pour la question 4 j'ai encore plus de mal avec ces questions car cela est de la geometrie

relis à 21:37, j'ai déjà répondu.

oui mais je ne comprend pas deja pourquoi tu m'as dit que j'allais trouver les points P je suis d'accord mais dans l'enoncé ils veulent les points M serait ce les même?

nonon, relis bien : on te demande de construire les points P ; simplement, on ne les trouve pas du premier coup : il faut d'abord construire les points M, comme points d'intersection du cercle et de (AB).

oui les oints M sont construits et pour trouver les points P on part de M jusque l'axe des ordonnés tt en ayant l'angle M droit c'est ca?