Démontrer une inégalité avec valeurs absolues et racines carrées


  • P

    salut à vous J'ai une démonstration qui me fatigue. V signifie racine carre.
    soit a et b deux reels demontrer que:
    Va^2+b^2<|a|+|b|<V2Va^2+b^2.
    merci d avance


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je pense qu'il s'agit de démontrer que :

    a2+b2≤∣a∣+∣b∣\sqrt{a^2+b^2} \le |a|+|b|a2+b2a+b

    Pistes ,

    Tu peux dire que a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|a2=a et b2=∣b∣\sqrt{b^2}=|b|b2=b

    En raisonnant par équivalences logiques : par élévation au carré entre nombres positifs

    a2+b2≤a2+b2↔a2+b2≤a2+b2+2a2b2\sqrt{a^2+b^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \leftrightarrow a^2+b^2 \le a^2+b^2+2\sqrt {a^2}\sqrt{ b^2}a2+b2a2+b2a2+b2a2+b2+2a2b2

    En transposant , ceci équivaut à :

    2a2b2≥02\sqrt{a^2}\sqrt{b^2} \ge 02a2b20

    Tu justifies que la dernière inégalité est vraie.
    Par équivalence logique , la première le sera aussi.


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