Démonstration d'une inégalité



  • salut à vous J'ai une démonstration qui me fatigue. V signifie racine carre.
    soit a et b deux reels demontrer que:
    Va^2+b^2<|a|+|b|<V2Va^2+b^2.
    merci d avance


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je pense qu'il s'agit de démontrer que :

    a2+b2a+b\sqrt{a^2+b^2} \le |a|+|b|

    Pistes ,

    Tu peux dire que a2=a\sqrt{a^2}=|a| et b2=b\sqrt{b^2}=|b|

    En raisonnant par équivalences logiques : par élévation au carré entre nombres positifs

    a2+b2a2+b2a2+b2a2+b2+2a2b2\sqrt{a^2+b^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \leftrightarrow a^2+b^2 \le a^2+b^2+2\sqrt {a^2}\sqrt{ b^2}

    En transposant , ceci équivaut à :

    2a2b202\sqrt{a^2}\sqrt{b^2} \ge 0

    Tu justifies que la dernière inégalité est vraie.
    Par équivalence logique , la première le sera aussi.


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