Calculer les limites de fonctions trigonométriques


  • P

    salut à tous j ai deux limites qui me fatigue.
    lim(x-cosx)/xsinx
    x--»0 et
    lim(1-cosx)/sinx
    x--»0. merci d avance


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Piste pour débuter,

    Lorsque x tend vers 0 , (x-cosx) tend vers 0-1=-1

    x et sinx tendent vers 0 en étant de même signe donc xsinx tend vers 0+0^+0+

    le quotient tend donc vers ................


  • P

    vers +inf. merci
    et la deuxieme


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir pierresimpore

    Non -1/0+ ne donne pas + ∞

    Pour la deuxième limite, connais-tu le théorème de L'Hospital ?


  • P

    bonsoir oui je n ai pas attention au -.
    pr le theoreme tu es la premiere personne a me dire ca.


  • mtschoon

    Bonjour Noemi et pierresimpore ,

    Pour la seconde , regarde ton cours de TS; tu as peut-être des limites usuelles , ou des expressions approchées , relatives à sinx et 1-cosx lorsque x est voisin de 0

    Première idée

    Tu sais (peut-être) que lorsque x est voisin de 0 :

    sinx∼xsin x \sim xsinxx
    1−cosx∼x221-cos x \sim \frac{x^2}{2}1cosx2x2

    alors cosx−1sinx∼..................\frac{cos x-1}{sinx} \sim ..................sinxcosx1..................

    D'où limite égale à 0

    Deuxième idée ( qui revient au même que la première )

    Dans ton cours , tu as (peut-être) des limites uusuelles :

    lim⁡x→0sinxx=1\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1limx0xsinx=1

    lim⁡x→01−cosxx22=1\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{\frac{x^2}{2}}=1limx02x21cosx=1

    Tu adaptes pour trouver la limite demandée

    Troisième idée ( dont t'a parlé Noemi ) , qui est la plus belle .

    1−cosxsinx=−1−cosx0−sinx=−cosx−1sinx−0=−cosx−cos0sinx−sin0=−cosx−cos0xsinx−sin0x\frac{1-cosx}{sinx}=-\frac{1-cosx}{0-sinx}=-\frac{cosx-1}{sinx-0}=-\frac{cosx-cos0}{sinx-sin0}=-\frac{\frac{cosx-cos0}{x}}{\frac{sinx-sin0}{x}}sinx1cosx=0sinx1cosx=sinx0cosx1=sinxsin0cosxcos0=xsinxsin0xcosxcos0

    En utilisant la définition de dérivée en 0 , le numérateur a pour limite le nombre dérivé de "cosx" en 0 , et le dénominateur a pour limite le nombre dérive de "sinx" en 0 , donc....................

    A toi de voir ce qui peut te convenir !


  • P

    merci mtschoon et Noemi. la troisieme me parait un peu floue mais je vais essayer de comprendre. avec la 2ieme j ai pu trouver 0. mais est ce que vous pouvez m enoncer ce theoreme d hospital? merci


  • mtschoon

    Regarde ici

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Règle_de_L'Hôpital

    Le problème , c'est qu'il n'est pas au programme de TS ce théorème...alors ...tu dois faire toute la démarche ( d'où 3ème idée )

    Rappel ( à utiliser pour le numérateur et le dénominateur ) pour la fin de l'explication :

    lim⁡x→0g(x)−g(0)x=g′(0)\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=g'(0)limx0xg(x)g(0)=g(0)

    Ainsi :

    lim⁡x→01−cosxsinx=−−sin0cos0=01=0\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{sinx}=-\frac{-sin0}{cos0}=\frac{0}{1}=0limx0sinx1cosx=cos0sin0=10=0

    Bon courage !


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