3. Démontrer une égalité à l'aide des barycentres

Démontrer une égalité à l'aide des barycentres

  • R

    Bonjour,
    ABC est un triangle du plan. On désigne par M le barycentre du système A(x);B(y) et C(z) avec x+y+z≠;0. a;b;c sont trois nombres non nuls tels que a≠b, a≠c, b≠c.
    A'=Bar$\left{a(0),b(b),c(-c) \right}$; B'=Bar$\left{a(-a),b(0),c(c) \right}$ et C'=Bar$\left{a(a),b(-b),c(0) \right}$
    1-Etablir la relation (b−c)ma′⃗+(c−a)mb′⃗+(a−b)mc′⃗=0⃗(b-c)\vec{ma'}+(c-a)\vec{mb'}+(a-b)\vec{mc'}=\vec{0}(b−c)ma′+(c−a)mb′+(a−b)mc′=0.
    2-En déduire que A', B', C' sont alignés sur une droite δ\deltaδ.
    3-Démontrer que pour tout point M de δ\deltaδ, xa+yb+zc=0\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0ax​+by​+cz​=0.

    J'ai de la difficulté pour la question 3.

    Voici mes réponses pour 1 et 2:
    1-On a A'=Bar[$\left{a(0),b(b),c(-c) \right}$ donc,
    (b−c)ma′⃗=bmb⃗−cmc⃗(b-c)\vec{ma'}=b\vec{mb}-c\vec{mc}(b−c)ma′=bmb−cmc
    -On a B'=Bar$\left{a(-a),b(0),c(c) \right}$ donc,
    (c−a)mb′⃗=−ama⃗+cmc⃗(c-a)\vec{mb'}=-a\vec{ma}+c\vec{mc}(c−a)mb′=−ama+cmc
    -On a C'=Bar[$\left{a(a),b(-b),c(0) \right}$ donc,
    (a−b)mc′⃗=ama⃗−bmb⃗(a-b)\vec{mc'}=a\vec{ma}-b\vec{mb}(a−b)mc′=ama−bmb
    Par addition on obtient:
    (b−c)ma′⃗+(c−a)mb′⃗+(a−b)mc′⃗=bmb⃗−cmc⃗(b-c)\vec{ma'}+(c-a)\vec{mb'}+(a-b)\vec{mc'}=b\vec{mb}-c\vec{mc}(b−c)ma′+(c−a)mb′+(a−b)mc′=bmb−cmc−ama⃗+cmc⃗-a\vec{ma}+c\vec{mc}−ama+cmc+ama⃗−bmb⃗+a\vec{ma}-b\vec{mb}+ama−bmb
    donc (b−c)ma′⃗+(c−a)mb′⃗+(a−b)mc′⃗=0⃗(b-c)\vec{ma'}+(c-a)\vec{mb'}+(a-b)\vec{mc'}=\vec{0}(b−c)ma′+(c−a)mb′+(a−b)mc′=0
    2- Puisque b-c+c-a+a-b=0, donc (b−c)ma′⃗+(c−a)mb′⃗+(a−b)mc′⃗(b-c)\vec{ma'}+(c-a)\vec{mb'}+(a-b)\vec{mc'}(b−c)ma′+(c−a)mb′+(a−b)mc′ est un vecteur constant, alors on peut écrire:
    (c−a)a′b′⃗+(a−b)a′c′⃗=0⃗(c-a)\vec{a'b'}+(a-b)\vec{a'c'}=\vec{0}(c−a)a′b′+(a−b)a′c′=0
    On peut écrire donc a′b′⃗\vec{a'b'}a′b′ en fonction dea′c′⃗\vec{a'c'}a′c′, ce qui montre que A',B',C' sont alignés.
    Mais pour la question 3, je n'ai aucune idée. Merci d'avance

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonjour rinjaritra,

    Utilise le fait que le point M est le barycentre des points A, B et C avec les coefficients x, y et z.

    R 1 réponse
  • R

    Merci, J'ai fait mais je suis bloqué encore:
    xma⃗+ymb⃗+zmc⃗=0x\vec{ma}+y\vec{mb}+z\vec{mc}=0xma+ymb+zmc=0
    mais je ne sais pas continuer avec cela.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Une piste possible pour la question 3 , si tu n'as rien trouvé .

    Tu sais que A'=Bar{(B,b),(C,-c)}
    Donc , pour tout α non nul A'=Bar{(B,αb),(C,-αc)}

    Tu sais que B'=Bar{(C,c),(A,-a)}
    Donc , pour tout β non nul A'=Bar{(C,βc),(A,-βa)}

    Tu sais que C'=Bar{(A,a),(B,-b)}
    Donc , pour tout δ non nul c'=Bar{(a,δa),(B,-δb)}

    Vu que A' , B' , C' son alignés ( sur Δ ) , M peut être considéré comme barycentre de A' , B' , C'

    En utilisant la propriété d'associativité des barycentres :

    M=Bar{(B,αb),(C,-αc),(C,βc),(A,-βa),(A,δa),(B,-δb) }

    En regroupant :

    M=Bar{(A,δa-βa) , (B,αb-δb) , (C,βc-αc)}

    M=Bar{(A,a(δ-β)) , (B,b(α-δ)) , (C,c(β-α))}

    ( impose les conditions δ-β≠0,α-δ≠0,β-α≠0)

    Or :M=Bar{(A,x),(B,y),(C,z)}

    les coefficients sont donc proportionnels :

    Il existe k tel que :

    xa(δ−β)=yb(α−δ)=zc(β−α)=k\frac{x}{a(\delta-\beta)}=\frac{y}{b(\alpha-\delta)}=\frac{z}{c(\beta-\alpha)}=ka(δ−β)x​=b(α−δ)y​=c(β−α)z​=k

    Je te laisse arriver à l'égalité demandée.

    Remarque ; j'ignore à quoi sert cet exercice , mais cette question me parait bien difficile pour un exercice classique de TS .

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