Barycentres



  • Bonjour,
    ABC est un triangle du plan. On désigne par M le barycentre du système A(x);B(y) et C(z) avec x+y+z≠;0. a;b;c sont trois nombres non nuls tels que a≠b, a≠c, b≠c.
    A'=Bar$\left{a(0),b(b),c(-c) \right}$; B'=Bar$\left{a(-a),b(0),c(c) \right}$ et C'=Bar$\left{a(a),b(-b),c(0) \right}$
    1-Etablir la relation (bc)ma+(ca)mb+(ab)mc=0(b-c)\vec{ma'}+(c-a)\vec{mb'}+(a-b)\vec{mc'}=\vec{0}.
    2-En déduire que A', B', C' sont alignés sur une droite δ\delta.
    3-Démontrer que pour tout point M de δ\delta, xa+yb+zc=0\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0.

    J'ai de la difficulté pour la question 3.

    Voici mes réponses pour 1 et 2:
    1-On a A'=Bar[$\left{a(0),b(b),c(-c) \right}$ donc,
    (bc)ma=bmbcmc(b-c)\vec{ma'}=b\vec{mb}-c\vec{mc}
    -On a B'=Bar$\left{a(-a),b(0),c(c) \right}$ donc,
    (ca)mb=ama+cmc(c-a)\vec{mb'}=-a\vec{ma}+c\vec{mc}
    -On a C'=Bar[$\left{a(a),b(-b),c(0) \right}$ donc,
    (ab)mc=amabmb(a-b)\vec{mc'}=a\vec{ma}-b\vec{mb}
    Par addition on obtient:
    (bc)ma+(ca)mb+(ab)mc=bmbcmc(b-c)\vec{ma'}+(c-a)\vec{mb'}+(a-b)\vec{mc'}=b\vec{mb}-c\vec{mc}ama+cmc-a\vec{ma}+c\vec{mc}+amabmb+a\vec{ma}-b\vec{mb}
    donc (bc)ma+(ca)mb+(ab)mc=0(b-c)\vec{ma'}+(c-a)\vec{mb'}+(a-b)\vec{mc'}=\vec{0}
    2- Puisque b-c+c-a+a-b=0, donc (bc)ma+(ca)mb+(ab)mc(b-c)\vec{ma'}+(c-a)\vec{mb'}+(a-b)\vec{mc'} est un vecteur constant, alors on peut écrire:
    (ca)ab+(ab)ac=0(c-a)\vec{a'b'}+(a-b)\vec{a'c'}=\vec{0}
    On peut écrire donc ab\vec{a'b'} en fonction deac\vec{a'c'}, ce qui montre que A',B',C' sont alignés.
    Mais pour la question 3, je n'ai aucune idée. Merci d'avance


  • Modérateurs

    Bonjour rinjaritra,

    Utilise le fait que le point M est le barycentre des points A, B et C avec les coefficients x, y et z.



  • Merci, J'ai fait mais je suis bloqué encore:
    xma+ymb+zmc=0x\vec{ma}+y\vec{mb}+z\vec{mc}=0
    mais je ne sais pas continuer avec cela.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Une piste possible pour la question 3 , si tu n'as rien trouvé .

    Tu sais que A'=Bar{(B,b),(C,-c)}
    Donc , pour tout α non nul A'=Bar{(B,αb),(C,-αc)}

    Tu sais que B'=Bar{(C,c),(A,-a)}
    Donc , pour tout β non nul A'=Bar{(C,βc),(A,-βa)}

    Tu sais que C'=Bar{(A,a),(B,-b)}
    Donc , pour tout δ non nul c'=Bar{(a,δa),(B,-δb)}

    Vu que A' , B' , C' son alignés ( sur Δ ) , M peut être considéré comme barycentre de A' , B' , C'

    En utilisant la propriété d'associativité des barycentres :

    M=Bar{(B,αb),(C,-αc),(C,βc),(A,-βa),(A,δa),(B,-δb) }

    En regroupant :

    M=Bar{(A,δa-βa) , (B,αb-δb) , (C,βc-αc)}

    M=Bar{(A,a(δ-β)) , (B,b(α-δ)) , (C,c(β-α))}

    ( impose les conditions δ-β≠0,α-δ≠0,β-α≠0)

    Or :M=Bar{(A,x),(B,y),(C,z)}

    les coefficients sont donc proportionnels :

    Il existe k tel que :

    xa(δβ)=yb(αδ)=zc(βα)=k\frac{x}{a(\delta-\beta)}=\frac{y}{b(\alpha-\delta)}=\frac{z}{c(\beta-\alpha)}=k

    Je te laisse arriver à l'égalité demandée.

    Remarque ; j'ignore à quoi sert cet exercice , mais cette question me parait bien difficile pour un exercice classique de TS .


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