Distance entre deux points et suites

Bonjour à tous !

Nous commençons a nous entrainer pour le bac concernant les nombres complexe et le 1er exercice restent assez problématique , tant au niveau du résultat qu'au niveau de la "rédaction"...

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O; u, v) on considère les points $M_n$ d'affixe $Z_n$ = $1/2)i)^n$ (1 + i√3) où n est un entier naturel

1°) exprimez $Z_{n+1}$ en fonction de $Z_n$ , puis $Z_n$ en fonction de $Z_o$ et n. Donnez $Z_o$ , $Z_1$ , $Z_2$ , $Z_3$ , $Z_4$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique. Il faut également placer les point M1 M2..etc..

Alors voici mes réponses pour cette question : $Z_{n+1}$ = $1/2)i)^{n+1}$ (1 + i√3)

$Z_n$ = $z_0$ * $1/2)i)^n$

$Z_1$ = $1/2)i)^1$ (1 + i√3) = ((1/2)i) (1 + i√3) = -√3/2 + (1/2)i

Forme Trigo: r=√(a²+b²) = 1 donc z = 1 ( cos $π6\frac{\pi}{6}$ sin $π6\frac{\pi}{6}$ )

$Z_2$ = $1/2)i)^2$ (1 + i√3) = (-1/4) (1+i√3) = -1/4 - (√3/4)i

Forme Trigo: r= 1/4 or je ne trouve pas le module ici...8pi/6 j'aurais dit mais je ne suis pas sur...

$Z_3$ = $1/2)i)^3$ (1 + i√3) = ((-1/8)i) (1 + i√3 ) = (-1/8)i + √3/8

Forme Trigo: r=1/16 ne trouve pas le module....

$Z_4$ = $1/2)i)^4$ (1 + i√3) = (1/16) (1+i√3 ) = 1/16 + (√3/16)i

Forme Trigo: r=1/64 , je ne trouuve pas le module non plus...

2°) Déterminer la distance $OM_n$ en fonction de n

Je sais juste que $OM_n$ ( dû moin OM par définition ) = √(a²+b²)....

3°) Démontrez que MnMn+1 = (√5)/(2^n)
Là je ne sais pas...

4 )
On Pose $L_n$ = $∑k=0nmkmk+1\sum_{k=0}^{n}{m_{k}m_{k+1}}$

Déterminer $L_n$ en fonction de n , puis sa limite.

Là non plus je ne sais pas comment faire....

Si possible , aidez moi également a la rédaction , diu moin , ce qu'il faut préciser etc...de sorte a ce que je ne fasse aucune fausse note pour le bac...

Merci encore pour votre aide !

Bonjour,

Tout d'abord : $zn+1=(i2)znz_{n+1}=(\frac{i}{2})z_{n}$

Comme :
$z1=−32+ı12z_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{2} + \imath\frac{1}{2}$

En utilisant le cercle trigonométrique on voit bien que :

$cos⁡(π−π6)=−32\cos(\pi- \frac{\pi}{6})= -\frac{\sqrt{3}}{2}$
et
$sin⁡(π−π6)=sin⁡(π6)=12\sin(\pi- \frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{6})= \frac{1}{2}$

Donc :
$z1=cos⁡(5π6)+isin⁡(5π6)z_{1}=\cos(\frac{5\pi}{6})+ i \sin(\frac{5\pi}{6})$

Ne va pas trop vite et vérifie bien les valeurs des cos et sin à l'aide du cercle trigonométrique par exemple.

Bonjour salam

D'accord....et le reste ? est-ce juste ? et pouvez vous m'aider également pour le reste de l'exos s'il vous plait ?

Bonjour,

Avant d'aller plus loin , je te conseille de revoir les arguments de $z_{2 }$ , $z_3$ , $z_4$

Ce sont tous des angles remarquables ( ou associés ) donc tu dois les reconnaître.

Sauf erreur ,

Pour $z_2$ , tu dois trouver $−2π3\frac{-2\pi}{3}$

Pour $z_3$ , tu dois trouver $−π6\frac{-\pi}{6}$

Pour $z_4$ , tu dois trouver $π3\frac{\pi}{3}$

En effet ! merci de m'avoir corrigé !

Concernant la suite , je dois avoué que j'ai un peu de mal....

Si c'est de la distance $OM_n$ dont tu parles , détermines le module de $z_n$ en utilisant les propriétés des modules

$∣omn∣=∣zn∣=∣1+i3∣×∣i2∣n|om_n|=|z_n|=|1+i\sqrt 3|\times |\frac{i}{2}|^n$

Tu continues

faut-il que j'utilise √(a²+b²). ?

oui , mais tu peux aussi utiliser le module de |1+i√3| que tu as calculé précedemment.

Le module de Z0 , c'est à dire , 2 ?

oui , le module de $z_0$ est 2

Et donc la distance OMn = 2 ? il fallait seulement faire ça ? ^^

Mn+1Mn , est-ce que sa équivaut à Zn + Zn+1 ? j'ai cette piste pour l'instant pour la prochaine question , mais je n'arrive pas a aller plus loin....:P

Réfléchis et ne va pas trop vite ! ! !

le module de $z_0$ est 2 mais c'est le module de $z_n$ que tu cherches.

Ah oui merci !! donc en sachant que Zn = z0 * ((1/2)i)n , je remplace ce qui donne Zn = 2 * ((1/2)i)n , or là je ne sais pas comment faire...

Tu confonds nombre complexe et module (revois ton cours )

$∣zn∣=2×(∣i2∣)n|z_n|=2\times (|\frac{i}{2}|)^n$

Il te reste à déterminer le module de i/2 et de le remplacer dans l'expression .

Ah oui en effet ^^

Ce module ( i/2 ) est-il égale a 1/2 ? ce qui donnerais 2 X (1/2)^n

Oui , et tu peux faire une simplification par 2 .

1^n ??

NON !

$2×12n=22n=...............2\times \frac{1}{2^n}=\frac{2}{2^n}=...............$

Ah j'ai compris ! on obtient 1/2^(n-1) ? j'espère avoir bien compris cette fois....

OUI ! Tu as bien compris.

Ah enfin !! ^^ C'est grâce à vous !! je vous remercie

Alors la 3) , j'y est réfléchi un peu, j'en est déduite que $M$ {n+1} $M_n$ = module de $Z</em>{n+1}$ + module de $Z_n$ , qui en théorie une fois devellopée donnerais √5/(2^n) , suis-je sur la bonne voie ? Il faut donc que je me serve des expression du début ?

Attention !

$mnmn+1=∣zn+1−zn∣=∣i2zn−zn∣m_nm_{n+1}=|z_{n+1}-z_n|=|\frac{i}{2}z_n-z_n|$

Tu transformes et tu trouveras le résultat escompté.

Alors en devellopant j'ai :
$∣12iz0+i2(i2)n∣−∣z0(12i)n∣\mid \frac{1}{2}iz_{0} + \frac{i}{2}(\frac{i}{2})^{n}\mid - \mid z_{0}(\frac{1}{2}i)^{n}\mid$

Mais je bloque ici :

(1/2)i - (√(3)/2) + ((1/2)i)^(n+1) ( pour la 1ère partie du calcul c'est a dire , le module Zn+1

Le module d'une différence n'est pas égal à la différence des modules ! ! !

Revois les propriétés des modules.

Prends l'expression de $M$ n $M</em>{n+1}$ que je t'ai donné et mets $z^n$ en facteur

En facteur on obtient : $\mid z_{n}(\frac{i}{2}-1 )\mid = \mid z_{n}\mid *\mid \frac{i}{2}-1\mid \$

?

( j'avais confondu avec le conjuguée...)

Oui , mais il faut continuer

Tu connais déjà | $z_n$ |

Tu calcules $∣i2−1∣|\frac{i}{2}-1|$

D'accord donc c'est égale à :
$12n−1∗∣i2−1∣=12n−1∗52=52n\frac{1}{2^{n-1}} * \mid \frac{i}{2}-1\mid = \frac{1}{2^{n-1}} * \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2^{n}}$

C'est bon ?

et pour la 4 ) je trouve quelque chose comme ça :

MnMn+1 = (√5)/(2^n)
∑MnMn+1 = ∑(√5)/(2^n)
= (√5) ∑1/(2^n)

Est-ce juste ? Faut-il être plus précise ?
Sa limite tend bien vers 0 ( vers +∞ si c'est bien ça ) car c'est une suite géométrique ?

Oui pour l'expression de $M$ n $M</em>{n+1}$

Ce n'est pas terminé ! explicite la somme ( formule de la somme des termes d'une suite géométrique )

Merci !

Comment ça ?

Sn = a (1 − qn ) / (1 − q ) ( Pour la question4 ? )

Oui mais il n'y as pas n termes dans la somme

Regarde bien combien tu en as (k varie de 0 à n )

Une infinité ?

est-ce la formule ? : Sn = a + a^q + aq^2 + aq^3 + ... ... + aq^(n−1) + aq^n

( (1/2) + (1/2^(1)) + (1/2^(2)) + ..... + (1/2^(n-1) ? )

J'ai vraiment du mal , mais grâce a vous je comprend mes erreurs.. il ne me reste plus que cette question , j'aimerais savoir si c'est bon...

faut-il remplacer n par k ?

Rappel : Pour la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison q :

$s=a1−qn1−qs=a\frac{1-q^n}{1-q}$

Fais attention au nombre de termes.

Dans l'exercice , vu que k varie de 0 à n : il y a ..... termes

il y a k termes.

J'espère avoir bon cette fois ci :rolling_eyes:

Non... k prend les valeurs de 0 à n :

k=0 , k=1 ; k=2 , ..., k=n-1 , k=n

Alors , compte combien il y a de termes

Réponse : Il y en a (n+1)

n+1 terme d'accord !
et du coup le lien avec la formule de la somme , dû moin , comment je peux expliquer tout ça sur ma feuille ?

et du coup
la limite de (√5)∑1/(2^n) ne tend pas vers 0

∑1/(2^n) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

∑q^n = (1-q^(n+1))/(1-q) si q ne vaut pas 1

la limite pour q<1 vaut donc 1/(1-q)

limite ∑1/(2^n) = 1/(1-1/2) = 2

limite de (√5)∑1/(2^n) = 2√5

ai-je bon ? Plus de précision ?

Oui , la limite est bien 2√5 .

D'accord , faut-il que je précise que k a n+1 terme ? et ensuite enchainer avec ce que j'ai écrit pour la limite c'est ça ?

Merci beaucoup pour votre patience !! vous m'avez été d'une grande aide, vous avez même pu m'éclaircir certains points importants du cours qui été jusque là rester assez sombre pour moi....
Passez une très bonne soirée !

Ah excusez moi je vient de me rendre compte d'une erreur : j'ai marqué limite ∑1/(2^n) = 1/(1-1/2) = 2 or c'est limite ∑1/(2^n) = 1/(2/1-1) = 2

Ce n'est pas k qui a (n+1) termes : c'est la SOMME qui est composée de (n+1) termes.

( *k prend (n+1) valeurs *)

Bon DM