Etude d'un lieu géométrique

Bonjour à tous ^^
Voilà j'ai un petit problème et j'espère que vous allez pouvoir m'aider

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O; i; j)
Pour tout point M de l'axe des ordonnées, on appelle:
-dM la droite passant par le point M et de vecteur directeur (2;-1)

N le point d'intersection de la droite dM avec l'axes des abscisses
P le milieu du segment [MN]

L'objet de l'exercice est de déterminer l'ensemble Γ des points P lorsque le point M décrit l'axe des ordonnées.

1- On note (0;b) les coordonnées du point M avec b un réel quelconque.
a- Déterminer une équation cartésienne de la droite dM.
b- Déterminer les coordonnées du point N.
c- Démontrer alors que le point P a pour coordonnées (b;b/2).

2- Démontrer que, pour tout point M de l'axe des ordonnées, le point P appartient à la droite Δ d'équation y=x/2. Que peut-on alors dire de l'ensemble Γ des points P par rapport à la droite Δ ?

3- Réciproquement, montrer que tout point de la droite Δ d'équation y=x/2 est un point de l'ensemble de l'ensemble Γ (indication: on pourra montrer que pour tout point P de la droite Δ, la droite passant par P et de vecteur directeur u, coupe les axes en deux points M et N tels que P soit le milieu du segment [MN]).

4- Conclure sur le lieu des points P lorsque le point M décrit l'axe des ordonnées.

Voici mes pistes de travail:

1a) -x-2y+c=0 M(0;b) vecteur u(2;-1)
M∈dM ⇔ -10-2b+c=0 ⇔ -2b+c=0 ⇔ c=2b donc -x-2y+2b=0

b) -x-2y+2b=0
-x+2b=0 car N ∈ à l'axe des abscisses
donc N(-x+2b;0)
La réponse doit être fausse car j'en ai besoin pour la question suivante et du coup mon résultat n'est pas correct. J'ai donc fait comme si j'avais trouvé la bonne réponse à cette question pour la question suivante.

c- M(0;b) N(2b;0)
xp=(0+2b)/2=b et yp=(b+0)/2=b/2 donc P (b;b/2)

Et maintenant je suis totalement perdu, je ne comprends plus rien :/. J'espère que vous pourrez m'aider ^^'. Merci d'avance :).
N(

Bonjour,
Citation
-x+2b=0 car N ∈ à l'axe des abscisses
donc N(-x+2b;0)Non : x = 2b, et y =0, donc N:(2b;0).

Merci. Pourriez vous m'expliquer la question 2 s'il vous plaît ?

Le point P a pour coordonnées (b;b/2) : son ordonnée est la moitié de son abscisse. Ces coordonnées vérifient donc : ordonnée = 1/2.abscisse, c'est-à-dire y = x/2.
Le point P est donc sur la droite Δ.
L'ensemble Γ de tous les points P est donc inclus dans cette droite.

Merci infiniment et bonne soirée ^^

Bonsoir,

J'ai également un soucis avec ces question :

Vérifier que tout point de la droite Δ est un point de l'ensemble Γ.

Indication :: Prendre un point P quelconque de la droite Δ, et montrer que la droite passant par le point P et de vecteur directeur u coupe les axes de coordonnées en des points M et N tels que le point P est le milieu du segment [MN].

Conclure

Pourriez-vous m'éclairer s'il vou plait ?