problème avec les variations d'une fonction


  • K

    Bonjour à tous, j'ai des difficultés sur un exercice et je vous demande un peu d'aide :

    Dans un milieu de culture, une population microbienne évolue au cours du temps.
    Elle passe de N0N_0N0 éléments à N1N_1N1 éléments au bout de 15 heures.
    Si on note N(t) le nombre de bactéries au bout de t heures, on admet que :
    N(t)=NN(t)=NN(t)=N_0∗ekt*e^{kt}ekt (k est une constante dépendant du type de bactéries et t est exprimé en heures)

    1. En utilisant N(15)=N1N(15)=N_1N(15)=N1, exprimé k en fonction de N0N_0N0 et de N1N_1N1 puis démontrer que : N(t)=NN(t)=NN(t)=N_0(N(N(N_1/N/N/N_0)t/15)^{t/15})t/15
      J’ai su trouver k et démontrer l’égalité.

    2. La population a triplé au bout de 15h.

    a)exprimé N(t) en fonction de t, étudier les variations de N sur [0;15] et dresser son tableau de variation.
    Voilà mon raisonnement :
    On sait que : N(t)=NN(t)=NN(t)=N_0(N(N(N_1/N/N/N_0)t/15)^{t/15})t/15
    Or N(15)=N1N(15)=N_1N(15)=N1= 3N03N_03N0
    Donc N(t)= NNN_0∗3t/15*3^{t/15}3t/15
    C’est là que je commence à bloquer car pour étudier les variations, je suppose qu’il faut dériver sauf que je n’arrive pas à savoir comment m’y prendre pour cette équation à cause de la puissance t/15 et la constante inconnue N0N_0N0.
    J’ai pensé utiliser quelques règles de dérivation comme :
    f(x)=ax f’(x)=a
    g(x)=axg(x)=a^xg(x)=ax (a<0) g’(x)=ax(x)=a^x(x)=ax lna
    (uv)’ = (u’v+uv’)
    Mais je n’arrive pas à obtenir quelque chose de concluant, ne sachant pas trop dans quel sens prendre tout cela…
    Je vous remercie d’avance pour votre aide.


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Ketsa,

    C'est bien la dérivée de axa^xax qu'il faut utiliser.
    No est une constante.


  • K

    Merci pour ta réponse
    On poserai alors pour appliquer cette formule x= (t/15) ?

    u(x)= 3t/153^{t/15}3t/15
    u'(x)=3t/15(x)=3^{t/15}(x)=3t/15ln3

    donc N'(t)=N(t)=N(t)=N_03t/153^{t/15}3t/15ln3
    On garde la constante N0N_0N0 telle quelle ?


  • N
    Modérateurs

    Attention la dérivée de 3t/153^{t/15 }3t/15 est (ln3)/15 <em>3t/15<em>3^{t/15}<em>3t/15
    Avec No,
    cela donne No(ln3)/15 ∗3t/15*3^{t/15}3t/15


  • K

    ha d'accord !
    ma démarche de mettre x=(t/15) était mauvaise !

    Donc en reprenant la formule g(x)=axg(x)=a^xg(x)=ax (a<0) g’(x)=ax(x)=a^x(x)=ax lna
    On pose x=t et a=31/15a=3^{1/15}a=31/15

    donc la dérivée est égale à 333^{t/15}<em>ln31/15<em>ln3^{1/15}<em>ln31/15
    qui équivaut donc à 3t/153^{t/15}3t/15(ln3)/15
    Et on multiplie le tout par la constante N0N_0N0

    Merci beaucoup !


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