3. Prouver des égalités en utilisant l'intégration par parties

Prouver des égalités en utilisant l'intégration par parties

  • M

    Bonjour, pouvez-vous m'aider à faire cet exercice s'il vous plaît ?

    On pose I=∫$$^1$_0$ cos t e1−te^{1-t}e1−tdt
    et J=∫$$^1$_0$ sin t e1−te^{1-t}e1−t dt

    1. Prouvez que I= - cos1 + e - J et J=-sin1+I
    2. Déduisez-en les valeurs de I et J

    Merci

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste,

    1. Pour I : intégration par parties

    Tu poses :

    u(t)=costu(t)=costu(t)=cost
    u′(t)=−sintu'(t)=-sintu′(t)=−sint
    v′(t)=e1−tv'(t)=e^{1-t}v′(t)=e1−t
    v(t)=−e1−tv(t)=-e^{1-t}v(t)=−e1−t

    $i=[-cost\times e^{1-t}]_0^1-\bigint_0^1e^{1-t}sintdt$

    Après calculs , tu obtiens ainsi :

    i=−cos1+e−ji=-cos1+e-ji=−cos1+e−j

    Tu pourras en déduire que i+j=−cos1+ei+j=-cos1+ei+j=−cos1+e

    Tu partiques de la même façon pour intégrer J par parties ce qui te donneras la différence I-J

    1. Connaissant I -J et I+J , en résolvant de système I+J=... et I-J=... , tu obtiendras I et J
    M 1 réponse
  • M

    Merci pour votre réponse.
    Je ne parviens pas à trouver le résultat demandé.
    Je trouve : I = [-cos t x eee^{1-t}]]]^10_00​ + [−e1−t[-e^{1-t}[−e1−t +cost]+cost]+cost]_01^11
    I=-cos 1 - 1

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Reprenons :

    La formule d'intégration par parties te donne :

    $i=[-cost \times e^{1-t}]_0^1-\bigint _0^1(-e^{1-t})(-sint)dt$

    D'où :

    $i=[-cost \times e^{1-t}]_0^1-\bigint _0^1(e^{1-t})(sint)dt$

    L'intégrale écrite à droite est J , donc :

    i=[−cost×e1−t]01−ji=[-cost \times e^{1-t}]_0^1-ji=[−cost×e1−t]01​−j

    Tu fais les calculs aux bornes :

    i=−cos1e1−1+cos0e1−0−ji=-cos1e^{1-1}+cos0e^{1-0}-ji=−cos1e1−1+cos0e1−0−j

    i=−cos1e0+cos0e1−ji=-cos1e^{0}+cos0e^{1}-ji=−cos1e0+cos0e1−j

    cos0=1 et e0e^0e0=1 donc :

    i=-cos1+e-j\fbox{i=-cos1+e-j}i=-cos1+e-j​

    M 1 réponse
  • M

    D'accord merci.
    Pour la J je trouve à la fin J=sin 1 - 1 -Sin 1- 1 c'est correct ?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    non...

    Peut-être n'as tu pas bien compris la méthode d'intégration par parties.

    Eventuellement , indique tes calculs pour que nous puissions voir où tu te trompes.

    Revois les calculs de I que je t'ai donnés et refais le I seule pour être sûre d'avoir compris.

    Ensuite fais J exactement de la même façon ( tu dois obtenir J en fonction de I et la réponse t'est donnée dans l'énoncé )

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