Calculer des produits scalaires dans un cube

Bonjour tout le monde, pouvez vous m'aider pour cet exercice:

Soit un cube ABCDEFGH d'arête a tel que (ABCD) et (EFGH) sont des faces opposées; et (AE), (BF), (CG) et (DH) sont des arêtes orthogonales à ces faces.

On désigne par I, J et K les milieux de [BF], [FG] et [GH].

Calculer les produits scalaires EJ.FI, EK.FI, AI.BG et AJ.BC.
Evaluer cos IÊK après avoir calculé EI, EK et EI.EK.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

Qu'as-tu réussi à faire ?

baj je suis bloqué mais je sais que le produit de EJ.FI vaut 0 car la droite (FI) est confondue avec la droite (BC) qui est orthogonale à la face (EFGH), or E et J sont dans cette face, donc vec(EJ) et vec(FI) sont orthogonaux, leur produit scalaire est donc nul

Bonjour,

Quelques pistes,

Les vecteurs étant orthogonaux , les 2 premiers produits scalaires sont nuls.

Pour les autres , décompose un vecteur avec la relation de Chasles en faisant la décomposition en passant par les arêtes du cube ; ainsi , tu obtiendras des vecteurs orthogonaux .

$\text{\vec{ai}.\vec{bg}=(\vec{ab}+\vec{bi}).\vec{bg}=\vec{ab}.\vec{bg}+\vec{bi}.\vec{bg}=\vec{bi}.\vec{bg}$
Se calcule facilement.

$\text{\vec{aj}.\vec{bc}=(\vec{af}+\vec{fj}).\vec{bc}=\vec{af}.\vec{bc}+\vec{fj}.\vec{bc}=\vec{fj}.\vec{bc}$
Se calcule facilement.

Pour le dernier ,

$\text{\vec{ei}.\vec{ek}=(\vec{ef}+\vec{fi}).(\vec{eh}+\vec{hk})=...$
Même principe : tu distribues , tu supprimes les produits scalaires nuls et tu calcules celui qui reste.

Bons calculs.