Un représente le nombre d'ancêtres d'une abeille mâle à la génération n.Soit Fn le nombre d'ancêtres femelles et Mn le nombre d'ancêtres mâles à la génération n.
a) montrer que Un=F(n+1) et que M(n+1)=Fn
ca j'ai trouvé c'est le mode de reproduction des abeilles qui veut ca
b)En déduire U(n+1)=Un+Fn=Un+U(n-1)
la je trouve
U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn
Un=F(n+1) donc Fn=u(n-1)
et donc
U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn=Un+ U(n-1)
2)On considère la suite de Fibonacci telle que :
U0=U1=1 et u(n+1)=Un+U(n-1) pour tout n appartenant à N*
a)montrer que pour tout n ,Un >= n.
En déduire
la je n'arrive pas a trouver Un>=n je ne parviens pas a ce resultat meme avec la recurrence...
b)Etablir par récurrence que , quelque soit le naturel n :
Un²=U(n-1)*U(n+1)+(-1)^n
On pose
Vn= U(n+1)/Un
a)Montrer que V(n+1)-Vn= (-1)^n/(Un*U(n+1))
déduire la limite de V(n+1)-Vn lorsque n tend vers +l'infini.
b) On pose Wn=V(2n-1) et Tn=V(2n)
étudier le sens de variation de chacune de ces 2 suites.
c) montrer que les suites Wn et tn sont adjacentes
en deduire que la suite (Vn)converge vers 1
d) montrer que lim(qd x tend vers +00)(Vn2-Vn-1)=0
e) en utilisant la continuité de la fonction f(x)=x2-x-1 montrer que (Vn) converge vers le nombre d'or
Lorsque je fais l'intégration par parties je suis bloquée car je me retrouve avec un autre intégrale qui semble elle aussi nécessiter une autre intégration par parties et ainsi de suite...
si les deux exposants sont pairs, peux-tu appliquer cette méthode? S'ils sont impairs? Si l'un est impair et l'autre pair? Il suffit que tu expliques dans chaque cas pourquoi tu peux l'appliquer ou pourquoi tu ne peux pas en sachant qu'il te faut quelquechose de la forme u'(x) foi/ v(u(x)) pour pouvoir trouver une primitive de la fonction.
Pour partie A :
1/ M1 (x1; y1)
x1 = x0 +h
y1 = y0 + h x f'(x0)
f(x0) = y0 ssi f'(x) = 1/f(x) = 1/yn
donc y1 = y0 + h x 1/f(x)
y1 = yo + h x (1/yn)
2/ M1 x1 = x0 + h = 0+0.1 = 0.1
y1 = y0 + (0.1/y0) = 1 +( 0.1/1) = 1.1
M2 x2= x1 + h = 0.1 +0.1 = 0.2
y2 = y1 + (0.1/ y1) = 1.1 + ( 0.1/ 1.1) = 1.191
ainsi de suite pour les autres points
Pou la partie B :
Si f s'annule sur [ 0 ; +infini[ on aurait f(x) =0 or ici f(x) = 1/ f'(x) est différent de 0
donc la fonction f ne s'annule pas.
f(a)< 0 a>0 f(0)=1
F est dérivable donc elle est continue sur [0; a]
TVI: Lorsque f est continue sur [0;a] pour tout k compris entre f(0) et f(a), l'équation f(x)= k admet une solution unique alpha qui appartient à [0;a].
(Tableau de variation)
Comme a est un réel strictement positif tel que f(a) < 0 alors le tableau de variation montre que l'équation f(x)=0 à une solution unique alpha dans [0;a].
3.On peut conclure que la fonction f est strictement positivesur [0; +infini[ car elle ne s'annule pas sur [0;+infini[ etqu'elle est continue sur [0;a] donc elle admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a].
Partie C :
primitive de u'u sur [0; + inifini[
u'u^n avec n = 1
( 1 / n+1 ) x u^n+1
F(x) = u^n+1 / n+1 = u² / 2 = 1/2 u²+k
F(x) = 1/2 u² +k k, constante
f(x) f'(x) = 1
Dans le 1 du C on a déterminé une primitive de la fonction uu' or f(x)f'(x) est de la forme uu' donc la primitive de f(x) f'(x) =1/2 f² + C c ,constante
et la primitive de 1= x+C
donc 1/2 f² + k = x+c
f²= (x+k) x 2 -C
f²= 2x +2k - C
f²= 2x + C
(f(x))² = 2x + C avec C constante sur R et pour tout x de [0; + inifin[
f(0) = 1
pour x =0 :
(f(0))² = 2x0 + C
1² = 0+
1= C
donc f(x)² = 2x + 1
alors f(x) = racine 2x+1 = (2x+1) ^1/2
f(0)= racine 2x+1
ssi f(0.1) = racine 2x 0.1 +1 = 1.095
f (0.2) = racine 2x0.2+1 = 1.183
f (0.3) = racine 2x0.3+1 = 1.265
f (0.4) = racine 2x0.4+1 = 1.342
f (0.5) = racine 2x0.5+1 = 1.414
Ces valeurs et les valeurs des coordonnées y des différents points obtenus par la méthode d'Euler sont trés proches (au dixième prés) .
Pourriez vous m'aider si il y a des fautes.
Merci beaucoup
Ha ! okay...
en fait je ne connaissais pas bien la méthode pour trouver un majorant... Mais maintenant ça me paraît plus clair... Je t'en remercie beaucoup
C'est vrai aussi qu'après réflexion, je me suis un peu compliquée la tâche pour le 2 , mais bon, l'essentiel c'est que ça marche . Merci pour tes explications en tout cas.
++
Piste pour le cas où Sara aurait fait une erreur de quantificateur
Rappel :
Quantificateur universel, noté ∀\forall∀, qui veut dire "Quel que soit", c'est à dire "Pour tout"
Quantificateur existentiel, noté ∃\exists ∃ qui veut dire "il existe au moins un"
Remarque : "il existe exactement un" se note ∃!\exists! ∃!
Si la question est celle indiquée dans ma réponse précédente, le théorème des valeurs intermédiaires convient parfaitement.
Pistes à expliciter
Soit g(x)=f(x)−xf(1x)g(x)=f(x)-xf(\frac{1}{x})g(x)=f(x)−xf(x1)
On justifie d'abord que g est continue sur [1a,a][ \frac{1}{a} , a][a1,a]
On calcule g(x) aux bornes de l'intervalle [1a,a][ \frac{1}{a} , a][a1,a]
g(a)=f(a)−af(1a)g(a)=f(a)-af(\frac{1}{a})g(a)=f(a)−af(a1)
g(1a)=f(1a)−1af(a)g(\frac{1}{a})= f(\frac{1}{a})-\frac{1}{a}f(a)g(a1)=f(a1)−a1f(a)
On transforme g(1a)g(\frac{1}{a})g(a1) pour le mettre en relation avec g(a)g(a)g(a)
g(1a)=−1a[f(a)−af(1a)]g(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}[f(a)-af(\frac{1}{a})]g(a1)=−a1[f(a)−af(a1)]
Donc g(1a)=−1ag(a)\fbox{g(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}g(a)}g(a1)=−a1g(a)
On déduit que g(ag(ag(a) et g(1a)g(\frac{1}{a})g(a1) sont de signes contraires
On utilise le TVI , pour g : il existe (au moins) une valeur c de [1a,a][ \frac{1}{a} , a][a1,a] telle que g(c)=0\fbox{g(c)=0}g(c)=0
On déduire l'égalité souhaitée f(c)=cf(1c)\fbox{f(c)=cf(\frac{1}{c})}f(c)=cf(c1)
Sara, si cet énoncé modifié est le bon, travaille tout cela de près.
Sinon, reposte.
Bonjour,
calculer la dérivée de fnf_nfn.
montrer que fnf_nfn est croissante
calculer fnf_nfn(0) et fnf_nfn(1)
appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
cela devrait être faisable de savoir quand
f1f_1f1(x) = x - 1 s'annule
f2f_2f2(x) = x² + x - 1 s'annule
appliquer la question 1
fn+1f_{n+1}fn+1(x) = xn+1x^{n+1}xn+1 + fnf_nfn(x)
Pour la suite tu me dis où tu en es !
