Déterminer si une égalité de fonctions admet des solutions

Bonjour, j'ai du mal sur cet exercice:
Soit f et g les fonctions définies par:
f(x)=1/√(x+16)-4
g(x)=√(x+16)+4/x
A-t-on f=g? Justifier
J'aimerais juste qu'on m'éclaire...
Merci d'avance!!! :razz:

Bonjour,
Pour te répondre efficacement il faudrait qu'il n'y ait pas d’ambiguïté dans les écritures.
Est-ce f(x) = 1/[√(x+16) - 4] ?
Et g(x) = [√(x+16) + 4]/x ?
Si oui :

Indique pour quelles valeurs de x f et g sont définies
Multiplie le numérateur et le dénominateur de f(x) tous deux par la quantité conjuguée du dénominateur : à savoir par [√(x+16) + 4]

Oui oui, excuses moi pour les parenthèses; c'est bien:
f(x) = 1/[√(x+16)-4]
et g(x) = [√(x+16)+4]/x

donc pour la 1ère question l'idéal serait un tableau?? mais comment procéder avec la racine?
Merci pour ta réponse

C'est trop simple pour s'embarrasser d'un tableau.
La quantité sous le radical, x + 16, doit être positive ou nulle,
donc x ....
Mais il y a aussi des dénominateurs qui ne doivent pas être nuls.
Donc chercher, pour les exclure, les valeurs qui annuleraient les dénominateurs.
Pour g, pas de souci : x ≠ 0
Pour f, il faut résoudre l'équation √(x+16) = 4 : il suffit pour cela d'élever les deux membres au carré.

On a donc:
C.N:

pour g(x):

x+16 ≥ 0
⇒ x ≥ -16 et
x ≠ 0

pour f(x):

x+16 ≥ 0
⇒ x ≥ -16

Mais quand je résous l'équation , il arrive à un moment où je trouve un nombre négatif sous la racine et la rend donc impossible, est-ce normal?
J'ai fais comme ça:

√(x+16)-4 = 0
⇒ √(x+16) = 4
⇒ x² + 256 = 16
⇒ x² = -240
⇒ x = √-240 ⇔ s=∅ mais cette solution me paraît bizarre...

Merci pour ta patience !

N'utilise jamais de tirets : on les prend pour des signes moins.

La dernière partie est fausse (lorsque tu élèves au carré).
Le carré de √(x+16) n'est pas x² + 256 (qui d'ailleurs ne serait pas non plus le carré de x + 16).
Par définition d'une racine carrée :
si A est positif (ou nul), la racine carrée de A, notée √A, est le nombre positif (ou nul) dont le carré vaut A (c'est du français : bien connaître la signification du pronom "dont").
Par définition (ce n'est donc pas une "propriété"), on a donc (√A)² = A
Ainsi, (√(x+16))² = x+16 sous réserve que x+16 soit positif ou nul
c'est-à-dire x ≥ -16

Alors:
√(x+16)-4 = 0
⇒ √(x+16) = 4
⇒ (√(x+16)² = 4²
⇒ x+16 = 16
⇒ x = 0 ??

Oui, il faut donc exclure aussi 0 pour que f soit définie.
Autrement dit, les ensembles de définition de f et de g sont déjà égaux (sinon, f et g ne pourraient pas être égales).
Cet ensemble est donc [-16 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[

Maintenant tu peux passer à la suite :
Citation
2) Multiplie le numérateur et le dénominateur de f(x) tous deux par la quantité conjuguée du dénominateur : à savoir par [√(x+16) + 4]

1(√(x+16)+4)/(√(x+16)-4)(√(x+16)+4)
= √x + √16 + 4/x-16-16 (mais est-ce qu'on se débarrasse des 4 de cette façon??)

Non, non.
Tu dois revoir les règles élémentaires de calcul car tu commets des erreurs fondamentales : √(a+b) ≠ √a + √b

Le numérateur : 1(√(x+16)+4) : la multiplication par 1 ne change rien :
1*a = a
Donc le numérateur est √(x+16)+4, comme celui de g(x).

Le dénominateur : (√(x+16)-4)(√(x+16)+4) : il est de la forme (a-b)(a+b) avec ici a = √(x+16) et b = 4.
Mais tu dois savoir à quoi est égal (a-b)(a+b) ?

Ahhhhhhh!
√(x+16)+4/(√(x+16)-4)(√(x+16)+4) (a-b)(a+b)=a²-b²
⇒ √(x+16)+4/(√x+16)²-4²
⇒√(x+16)+4/(x+16)-16
⇒√(x+16)+4/x

On a donc Df = Dg = [-16 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
et f(x) = g(x) = √(x+16)+4/x

Oui, les deux fonctions sont donc égales.

Attention à l'écriture : tu emploies ci-dessus le symbole ⇒ au lieu du symbole =.
Et tu mélanges l'identité remarquable en plein milieu du calcul de f(x).
Tu reverras donc la présentation.

D'accord, merci beaucoup j'ai (enfin) compris comment résoudre ce genre d'exercice. merci merci merciiii!

De rien voyons.
Mais relis mes remarques concernant tes fautes : il est vraiment indispensable que tu maîtrises les bases du calcul.
Bon courage.

Je vais travailler ça, merci