congruences



  • bijour tout le monde! j'ai un petit exo qui n'a l'air de rien mais qui m'embêtre beaucoup! voici l'énoncéquels sont les entiers relatifs x pour lesquels on a simultanément:
    3x= 1[5] et 5x= 2[7]?
    j'ai tenté une premiere méthode mais je trouve une fraction :S
    j'espère que vous pourrez m'aider!! 😞
    merci d'avance



  • salut.

    quel est l'inverse de 3 modulo 5 ?



  • je comprends pas la question?



  • il serait bien de pouvoir diviser par 3, pas vrai ? c'est-à dire de multiplier par l'inverse de 3, modulo 5.
    le problème ici consiste à déterminer un nombre entier p tel que 3p = 1[5].



  • oula j'ai du mal a comprendre le but



  • "long est le chemin..."
    je te montre : on a 3 . 2 = 6 = 1 [5]
    c'est-à-dire que 2 est l'inverse de 3 modulo 5 ;
    donc
    3x = 1[5] equiv/ x = 2[5]
    equiv/ x = 2+5k, k app/Z
    c'est un début.



  • pour voir qi j'ai compris : dans le second cas on a 5*6=30=2[7]
    donc il faut resoufe x=6[7] equiv/ x=7k+6 ?
    et après je resoud 2+5k=7k+6?



  • pas vraiment, mais c'est bien d'avoir essayé.
    il faut trouver (par essais : il n'y a aucune autre méthode) un entier "q" tel que
    5q = 1 [7].
    ce "q" permettra de se débarasser du coefficient 5 devant x : c'est une sorte de division.
    ensuite, dans la fin de ce que tu as écrit, je ne vois pas pourquoi ce serait le même k.



  • mais pourqou a chaque fois on se ramène a 1[7] ou et pas a 2[7]?



  • en effet : je ne cherche pas de solution particulière à tes congruences, ici.

    n et i sont inverses l'un de l'autre si et seulement si le produit

    n . i = 1. Ainsi, on peut diviser par n en multipliant par i.



  • alors tu as dû trouver 5 . 3 = 15 = 1 [7]
    donc 5x = 2 [7] equiv/ x = 6 [7] (finalement ton truc de 18:43 est bon).
    etc avec k'.



  • oui g retrouver ca
    bon j'essaie de faire la suite :S



  • est ce que je dois trouver a la fin : ce son tous les x de la forme x= 35K-8 avec K app/ Z



  • en n'ayant que des coefficients positifs, c'est équivalent à x = 27 + 35n, avec n app/ Z.
    @+



  • salut,
    3x= 1[5] et 5x= 2[7]

    est équivalent à 3x-1=5k (1)
    et 5x-2=7k' (2)

    de (1) on tire que x=5k+1/3 que l'on subsitue dans (2) soit;

    25k-21k'=1 25 et 21 sont premiers entre eux car leur pgcd vaut 1

    on a k=-5-21p p appart à Z merci à p qui devient la variable unique à choisir!
    et k'=-6-25p

    si p=0 on a k=-5 et k'=-6

    alors ; de (1) on tire que 3x=1+5(-5)=1-25=-24 et x=-8
    de (2) on tire que 5x=2+7(-6)=2-42=-40 et x=-8

    il existe donc une infinité de solution

    donc de manière generale : 3x=1+5(-5-21p) (1)
    et 5x=2+7(-6-25p) (2).

    soit 3x=1-25-105p=-24-105p et x= -8-35p

    et pour (2) 5x=2-42-175p=-40-175p et x=-8-35p

    alors pour conclure voici la solution finale : X=-8-35.P et on choisis librement P dans Z

    a+



  • Salut! effectivement:

    3x=1[5] => il existe k relatif tel que 3x=1+5*k (cours)

    5x=2[7] => il existe k' relatif tel que 5x=2+7*k' (cours)

    Il ne reste plus qu’à résoudre ce petit système :

    3x=1+5k
    5x=2+7k'

    donc 0=-1+25k-21k'
    c'est a dire 1=25k-21k' solution particulière (k,k')=(16,19)
    donc k=16+a21 k'=19+a25, a relatif
    donc 3x=1+5(16+a21), a relatif
    donc 3
    x=1+80+105a=81+105a

    donc x=27+35*a avec a relatif



  • @+


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