Résolution d'une équation dans le plan complexe

[Martine]

C'est un exercice faisant partie d'un devoir maison que je n'est pas très bien compris

Pour tout nombre complexe z, on note P(z) = z³- 4z² + 8z - 8

1. Déterminer les nombres a et b tels que pour tout nombre complexe z, P(z)= (z-2)(z² + az + b)

2. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation z² - 2z + 4 = 0. En déduire les solutions, dans l'ensemble C des nombres complexes, de l'équation P(z) = 0

[Iron]

Bonjour Martine

1. P(z) = (z-2)(z² + az + b) ⇔
   z³- 4z² + 8z - 8 = (z-2)(z² + az + b)

Tu développes la partie droite puis tu procèdes par identification

2. Résoudre dans C z² - 2z + 4 = 0
   Calcul du discriminant puis des racines à l'aide des formules du cours

[Martine]

2. Résoudre dans C z² - 2z + 4 = 0

z² - 2z + 4 = 0

b²-4ac

= (-2)² - 4 * 1 * 4

= -4 inférieur à zéro donc deux solutions complexes conjuguées

z1 = -2 - i √-4 /2 z2 = -2 + i √-4 /2

= -2 /2 - i√4/2 = -2 /2 + i√4/2

[Iron]

Ton calcul de Δ est faux ... tu corriges ?

La méthode est correcte

[Martine]

la réponse est donc - 12

et je remplace -4 des racine par -12

[Iron]

Oui

Tu peux simplifier (par 2)

car $\sqrt{12}=\sqrt{3\times 4}=2\sqrt{3}$

Par exemple pour la première racine :
$z_1=\frac{2-2i\sqrt{3}}{2}=1-i\sqrt{3}$

[Iron]

Martine
la réponse est donc - 12

et je remplace -4 des racine par -12

Attention ! Dans la racine carrée c'est -Δ, donc c'est √12